最优化学习牛顿法（Newton’s method）

牛顿法（Newton’s method）

牛顿法（Newton’s method）
收敛性分析 ∃ η > 0 \exists \eta>0 ∃η>0
图示和例子
优点和缺陷

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牛顿法（Newton’s method）

最速下降法使对一次微分，牛顿法主要是对二次可微的函数进行判断
N e w t o n ′ s m e t h o d Newton's \text{ }method \text{ } Newton′s method d k = arg ⁡ min ⁡ v { ∇ f T ( x ) v + 1 2 v T ∇ 2 f ( x ) v } = − ( ∇ 2 f ( x k ) ) − 1 ∇ f ( x k ) d^{k} = \mathop{\arg\min}_{v}\left\{\nabla f^{T}(x) v+\frac{1}{2} v^{T} \nabla^{2} f(x) v\right\}=-\left(\nabla^{2} f\left(x^{k}\right)\right)^{-1} \nabla f\left(x^{k}\right) dk=argminv{∇fT(x)v+21vT∇2f(x)v}=−(∇2f(xk))−1∇f(xk)

收敛性分析 ∃ η > 0 \exists \eta>0 ∃η>0

若 ∥ ∇ f ( x ) ∥ 2 > η \| \nabla f(x) \|_{2}>\eta ∥∇f(x)∥2>η：damped Newton phase
若 ∥ ∇ f ( x ) ∥ 2 < η \| \nabla f(x) \|_{2}<\eta ∥∇f(x)∥2<η：quadratically convergent phase

f ( x k + 1 ) − P ∗ f ( x k ) − P ∗ ∼ u ( < 1 ) 线性 \frac{f\left(x^{k+1}\right)-P^{*}}{f\left(x^{k}\right)-P^{*}} \sim u(<1) \text{ 线性} f(xk)−P∗f(xk+1)−P∗∼u(<1) 线性 f ( x k + 1 ) − P ∗ f ( x k ) − P ∗ ∼ u 2 ( < 1 ) 二次 \frac{f\left(x^{k+1}\right)-P^{*}}{f\left(x^{k}\right)-P^{*}} \sim u^{2}(<1)\text{ 二次} f(xk)−P∗f(xk+1)−P∗∼u2(<1) 二次

图示和例子

对于一般函数，会在某个邻域会使收敛速度加快

对于凸二次目标函数，几乎可以一步收敛

优点和缺陷

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