《贝叶斯思维：统计建模的Python学习法》一1.6　MM豆问题

本节书摘来自异步社区《贝叶斯思维：统计建模的Python学习法》一书中的第1章，第1.6节，作者【美】Allen B. Downey，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看

1.6　M&M豆问题

M&M豆是有各种颜色的糖果巧克力豆。制造M&M豆的Mars公司会不时变更不同颜色巧克力豆之间的混合比例。

1995年，他们推出了蓝色的M&M豆。在此前一袋普通的M＆M豆中，颜色的搭配为：30%褐色，20%黄色，20%红色，10%绿色，10%橙色，10%黄褐色。这之后变成了：24%蓝色，20%绿色，16%橙色，14%黄色，13%红色，13%褐色。

假设我的一个朋友有两袋M&M豆，他告诉我一袋是1994年，一袋是1996年。

但他没告诉我具体哪个袋子是哪一年的，他从每个袋子里各取了一个M&M豆给我。一个是黄色，一个是绿色的。那么黄色豆来自1994年的袋子的概率是多少？

这个问题类似于曲奇饼问题，只是变化了我抽取样品的方式（碗还是袋）。这个问题也给了我一个机会演示纸面方法：也就在仅仅在纸上画画就可以解决类似这样的问题（译注：作者为后续章节的计算型方法铺垫）。在下一章中，我们将以计算方法解这些问题。

第一步是枚举所有假设。取出黄色M＆M豆的袋子称为袋1，另一个称为袋2，所以假设是：

A：袋1是1994年的，袋2是1996年的。
B：袋1是1996年的，袋2是1994年的。

接着我们设计一个表格，每行表示每个假设，每列表示贝叶斯定理中的每一项：

第一列表示先验。基于问题的声明，选择p(A)=p(B)= 1/2是合理的。

第二列表示似然度，表明了问题的背景信息。举例来说，如果A为真，黄色M＆M是来自1994年的袋概率20%，而绿色来自1996包的概率为20%。因为选择是独立的，我们将其相乘以得到联合概率。

第三列由前两列得到。此列的总和270是归一化常数（译注：参考全概率公式）。为了得到最后一列的后验概率，我们将第三列的值归一化后得到第四列的值。

就是这样。简单吧？

还有，你可能会被一个细节所困扰。我将p(D|H)写成了百分数的形式而不是概率形式，这意味着它没有除以因子10000。但是当我们将其除以归一化常数时就抵消了，因此这不影响结果。

当设定的假设是互斥和穷举的，你可以将似然度乘以任何因子，如果方便，将同一个因子应用到整列上。