一、概述

在齐次坐标中，所有的仿射变换都可以使用如下形式的 4 x 4 矩阵来表示

点 p(x,y,z)p (x, y, z)p(x,y,z) 表示方式为

向量 a⃗(x,y,z)\vec a (x, y, z)a(x,y,z) 表示方式为

关于齐次坐标的理解参考博文：齐次坐标

二、平移

平移（translation）变换把点沿着给定方向移动固定距离， p′=p+dp' = p + dp′=p+d 如下图所示。

比如：将点 p(1,1,1)p (1, 1, 1)p(1,1,1)，往 XXX 轴正方向移动 1单位，往 YYY 轴正方向移动 2 单位，往 ZZZ 轴正方向移动 3 单位，最终坐标是 p′(2,3,4)p'(2, 3, 4)p′(2,3,4)
数学上的运算为 p(1,1,1)+d(1,2,3)=p′(2,3,4)p (1, 1, 1) + d (1, 2, 3) = p'(2, 3, 4)p(1,1,1)+d(1,2,3)=p′(2,3,4)。
在图形学中，p+dp + dp+d 可以表示为 ppp 乘于 ddd 对应的平移矩阵 TTT

所以 p′p'p′ 的平移运算可表示为

即

二、旋转

旋转（rotation）变换指点绕着特定的一个点旋转固定角度。下面我们使用 2D 坐标讲解点 p(x,y)p(x, y)p(x,y)，绕特定的点O(0,0)O(0, 0)O(0,0) 原点旋转 θθθ 度，变换后的坐标表示为 p′(x′,y′)p'(x', y')p′(x′,y′)

将 ppp 与 p′p'p′ 转换为极坐标表示则有

利用两角和的正弦和余弦公式可得

转换为矩阵像形式

在 3D 中绕 ZZZ 轴旋转的所有点 zzz 值不变，等价于上面 2D 绕原点的旋转，所以 3D 坐标的旋转可以表示为

在图形学中绕 ZZZ 轴旋转的变换矩阵为

最终 p′p'p′ 的旋转可表示为

同理可得绕 XXX 轴旋转的变换矩阵为 RxR_{x}Rx，绕 YYY 轴旋转的变换矩阵为 RyR_{y}Ry。注：这里使用右手坐标系

三、缩放

缩放（scaling）变换指沿着指定不动点（变换后该点位置保持不变，这里使用原点），对象沿着指定方向（坐标轴）伸长或缩短。缩放后的点 p′(x′,y′,z′)p'(x', y', z')p′(x′,y′,z′) 的坐标可表示为

使用齐次坐标表示为

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