基础知识——排列与组合

2024-04-25 10:57:14

定义：

P (m,n) :从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数
C（m,n）:做从n个不同元素中取出m个元素的组合数

公式：

P (n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
例：P（2,5）=5 * 4=20

C（n,m）=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)/m!
例：C（2,5）=5 * 4 /1 * 2=10

排列之圆排列

从n个不同元素中不重复地取出m(1<=m<=n)个元素排列在圆周上，求总共有多少种不同的排列方法
（如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同）

公式： P（m,n）/m

排列之错位排列

有n个元素的排列，若重新排列后所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这个排列就称为原排列的一个错排，求有多少种不同的错排方法

公式：D（n）=(n-1) [ D(n-1) + D(n-2) ]
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1

排列之特殊条件

例：7位同学站成一排，按下列要求各有多少种不同的排法

①甲站某一固定位置：
P(6,6)

②甲站在中间，乙与甲相邻:
P（2,2） P（5,5）

③甲、乙相邻：
P（2,2）P（6,6）

④甲、乙两人不能相邻：
P（7,7）-P（2,2）P（6,6）

⑤甲、乙、丙三人相邻：
== P（5,5）P（3,3）==

⑥甲、乙两人不站在排头和排尾：
P（2,5）P（5,5）

⑦甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻：
P（3,5）P（4,4）

⑧甲、乙两人必须相邻，且丙不站在排头和排尾：
P（2,2）P（1,4）P（5,5）

组合之n个球放m个盒子问题

n个球，m个盒子，由于球是否相同，盒是否相同，盒是否可以为空，共2^3=8种(下面只讨论常见的两种)：

1. 球同，盒不同，无空箱
C(n-1,m-1)
2. 球同，盒不同，允许空箱
C(n+m-1,m-1)

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