偏态分布的均值与中位数关系

如何解释均值和中位数的大小关系呢？

实验室要处理敦煌莫高窟人流数据处理的任务，观察到每个洞窟的访问时间应该时遵循正偏态分布的。于是想起数据挖掘课上提到的正偏态分布中，均值大于中位数的问题。思考很久无法证明。
关于正偏态，正态和负偏态的图如下。
正偏也叫右偏，看起来好像是峰值在左，怎么会叫右偏呢？按维基百科的解释是：传统定义，均值大于中位数的称为右偏，也可以理解为长尾在右侧。同理可知，负偏也叫左偏。
如果数据是右偏分布，说明数据存在极大值，必然拉动平均数向极大值一方靠。
如果数据是左偏分布，说明数据存在极小值，必然拉动平均数向极小值一方靠。
一个非常直观的解释图如下（来自知乎，负偏可以画相反的图）。

◈若分布处于左侧实线和右侧虚线的状态时，中位数和均值是相等的，可以理解为左右两边的值个数相同，两两平均到中位数上。但是实际情况是右侧小的值更多，大的值更少了，值的个数还是不变的。但是这样就不够抵消左侧的值，平均到中位数上了。所以平均值要向左移动。于是均值小于中位数。

后来查看知乎和维基百科，发现均值大于中位数其实是个直觉感受，并不能证明，只是传统是这样定义的，而且均值还可能小于中位数。原话如下。
The skewness is not directly related to the relationship between the mean and median: a distribution with negative skew can have its mean greater than or less than the median, and likewise for positive skew.
其实众数，中位数和均值三者的大小关系都是不确定的。

作者：Tobin

出处：https://www.cnblogs.com/zuotongbin/p/10241366.html

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