二阶矩过程和平稳过程

基本概念

主要讨论复随机过程与宽平稳过程。
二阶矩过程：对于 ∀ t ∈ T \forall t\in T ∀t∈T，均值和方差都存在。
严平稳过程：概率分布完全一样，不涉及数字特征，可能不是二阶矩过程。
宽平稳过程：均值函数是常数，自相关函数是时间差的函数。一定是二阶矩过程。
对于正态过程来说，严平稳就是宽平稳。
独立增量过程+均值为常数、存在二阶矩 ⇒ \Rightarrow ⇒正交增量过程

注意两者区别： E ( [ X ( t 2 ) − X ( t 1 ) ] [ X ( t 4 ) − X ( t 3 ) ] ) = E ( X ( t 2 ) − X ( t 1 ) ) E ( X ( t 4 ) − X ( t 3 ) ) E([X(t_2)-X(t_1)][X(t_4)-X(t_3)])=E(X(t_2)-X(t_1))E(X(t_4)-X(t_3)) E([X(t2)−X(t1)][X(t4)−X(t3)])=E(X(t2)−X(t1))E(X(t4)−X(t3))这是独立增量， E ( [ X ( t 2 ) − X ( t 1 ) ] [ X ( t 4 ) − X ( t 3 ) ] ‾ ) = 0 E([X(t_2)-X(t_1)]\overline{[X(t_4)-X(t_3)]})=0 E([X(t2)−X(t1)][X(t4)−X(t3)])=0是正交增量。

统计特性

二阶矩过程的自相关函数共轭对称，且采样后的自相关矩阵非负定。
注意 R X ( τ ) = E ( X ( t + τ ) X ( t ) ‾ ) R_X(\tau)=E(X(t+\tau)\overline{X(t)}) RX(τ)=E(X(t+τ)X(t))，共轭的位置。

随机分析

前提都是二阶矩过程。

均方连续

自相关函数 R X X ( s , t ) R_{XX}(s,t) RXX(s,t)在 ( t 0 , t 0 ) (t_0,t_0) (t0,t0)处连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)}均方连续。

对于宽平稳过程：

{ X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)}均方连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)}在 t = 0 t=0 t=0处均方连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺自相关函数 R X X ( τ ) R_{XX}(\tau) RXX(τ)连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺自相关函数 R X X ( τ ) R_{XX}(\tau) RXX(τ)在 τ = 0 \tau=0 τ=0处连续。

均方导数

∂ 2 R X X ( s , t ) ∂ t ∂ s \frac{\partial^2R_{XX}(s,t)}{\partial t\partial s} ∂t∂s∂2RXX(s,t)在 ( t 0 , t 0 ) (t_0,t_0) (t0,t0)处存在且连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)}均方可导。

性质

导数过程的自相关函数为原自相关函数的导数，即： R X ′ ( s , t ) = ∂ 2 R X X ( s , t ) ∂ t ∂ s R_{X'}(s,t)=\frac{\partial^2R_{XX}(s,t)}{\partial t\partial s} RX′(s,t)=∂t∂s∂2RXX(s,t)
导数过程的均值函数为原均值函数的导数，即： E ( X ′ ( t ) ) = d X ( t ) d t E(X'(t))=\frac{dX(t)}{dt} E(X′(t))=dtdX(t)

高阶导数

R X X ( s , t ) R_{XX}(s,t) RXX(s,t)有2n阶导数且在对角线 t = s t=s t=s上连续，则 X ( t ) X(t) X(t)具有均方意义下的n阶导数。

R X ( n ) ( t , s ) = ∂ 2 n ∂ t n ∂ s n R X X ( t , s ) R_{X^{(n)}}(t,s)=\frac{\partial^{2n}}{\partial t^n\partial s^n}R_{XX}(t,s) RX(n)(t,s)=∂tn∂sn∂2nRXX(t,s)

R X ( n ) X ( m ) ( t , s ) = ∂ ( n + m ) ∂ t n ∂ s m R X X ( t , s ) R_{X^{(n)}X^{(m)}}(t,s)=\frac{\partial^{(n+m)}}{\partial t^n\partial s^m}R_{XX}(t,s) RX(n)X(m)(t,s)=∂tn∂sm∂(n+m)RXX(t,s)

互相关也一样：

R X ( n ) Y ( m ) ( t , s ) = ∂ ( n + m ) ∂ t n ∂ s m R X Y ( t , s ) R_{X^{(n)}Y^{(m)}}(t,s)=\frac{\partial^{(n+m)}}{\partial t^n\partial s^m}R_{XY}(t,s) RX(n)Y(m)(t,s)=∂tn∂sm∂(n+m)RXY(t,s)

均方可积

均方连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺均方可积。

类似均方导数，积分号和均值也可以互换。

注意：

平稳过程自相关函数积分的时候是两重积分。
均方积分是可拆的，积分限可拆，积分内容也可以拆。

各态历经性

讨论根据试验记录（样本函数）确定平稳过程的均值和相关函数的理论依据和方法。其实就是看长时间观测的数据是否可以代表整个随机过程。

如果 X ( t ) X(t) X(t)是一均方连续平稳随机过程，且其均值和相关函数均具有各态历经性，则称该随机过程具有各态历经性，或者说 X ( t ) X(t) X(t)是各态历经的，或是遍历的。

通常对于实平稳随机过程，只要时间差趋于无穷大时自协方差为0，那么它的均值具有各态历经性。通常宽平稳随机过程（除了周期不长的周期信号）都满足这个条件。自相关函数的各态历经性也是一样。

例题

通常是求解导数过程的均值函数和相关函数。

判断是不是均方连续/可积（自相关函数在对角线连续）、均方可导（自相关函数导数在对角线连续）。

判断是否平稳（均值函数常数，自相关函数只与时间差有关）。

二阶矩过程、平稳过程和随机分析相关推荐

随机过程2 平稳过程与二阶矩
文章目录 1. 相关函数 2. 功率谱 2.1 定义 2.2 功率谱与时域平均 3. 线性系统 4. 随机连续性与随机微积分 4.1 随机连续性 4.2 随机微分(均方意义) 4.3 Taylor 级 ...
【图像处理】轮廓二阶矩计算目标中心-计算目标中心位置方法3
参考 http://blog.csdn.net/yang6464158/article/details/42459595 特征矩的知识在概率论和数理统计中有介绍,空间矩的方法在图像应用中比较广泛,包括 ...
23.代码简单实现模拟噪声（图像噪声/一、二阶矩/功率谱密度/at函数/rand函数）-- OpenCV从零开始到图像（人脸 + 物体）识别系列
本文作者:小嗷微信公众号:aoxiaoji 吹比QQ群:736854977 简书链接:https://www.jianshu.com/u/45da1fbce7d0 本文你会找到以下问题的答案: 图像 ...
matlab二次二阶距,用Matlab改进一次二阶矩法程序.doc
用Matlab编的计算结构可靠指标的改进一次二阶矩法程序(验算点法) 题目:编制改进一次二阶矩法计算可靠指标的程序,并给出算例,要求提供源程序选取的算例为:z=g(x,y)=x*y-1140,其中x ...
一阶矩+二阶矩估计求解一个参数
一阶矩+二阶矩估计求解一个参数 @(概率论) 一般来说,一个参数对应一个方程.所以在矩估计法中,用一阶矩就可以求解一元.但是有些情况下,只写一阶矩,原理上是可以求得解的,但是,初等代数中很难剥离出来, ...
matlab 计算变异系数,[转载]用Matlab编的计算结构可靠指标的改进一次二阶矩法程序（验算点法）...
题目:编制改进一次二阶矩法计算可靠指标的程序,并给出算例,要求提供源程序,算法语言不限. 选取的算例为:z=g(x,y)=x*y-1140,其中x,y服从正态分布,μx=38,Vx=0.1, μy=3 ...
matlab一次二阶矩法正态分布,一次二阶矩法.ppt
设计验算点法求可靠指标评述验算点法对极限状态方程中服从正态分布的随机变量计算结果尚可,而非正态分布误差较大. JC法求可靠指标问题的提出:验算点法对极限状态方程中服从正态分布的随机变量计算结果尚可 ...
Android View的工作流程(二) measure过程
一.View的measure过程 View的measure过程是由View的measure方法完成的,他是一个被final关键字修饰的方法,我们无法重写该方法,但是measure方法中会调用onMe ...
python+django+layUI+MySQL+TSC打印机搭建4G设备管理平台项目（二）——过程中的难点记录
一.员工注册视图的使用 class UserRegisterView(View):def get(self, request): # 显示登录页return render(request, 'regi ...

二阶矩过程、平稳过程和随机分析