各类积分对称性详细总结

在这里再分享一篇通俗理解各类积分及各定理使用的文章~
通俗理解：第一型曲线积分，第二型曲线积分，第一型曲面积分，第二型曲面积分，二重积分，三重积分之间的内外联系
以下正文
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目录

二重积分
三重积分
曲线积分
曲面积分

二重积分

普通对称
设二重积分的积分区域为D,被积函数为f(x,y),则:
D区域关于y轴对称,且被积函数f关于x为奇函数,即f(-x,y)=-f(x,y) 则二重积分为0；被积函数f关于x为偶函数,即f(-x,y)=f(x,y) 则二重积分为两倍对称轴一侧区域上的积分；
D区域关于x轴对称,且被积函数f关于y为奇函数即f(x,-y)=-f(x,y), 则二重积分为0；被积函数f关于y为偶函数,即f(x,-y)=f(x,y) 则二重积分为两倍对称轴一侧区域上的积分；
D区域关于原点中心对称,且被积函数f关于(xy)为奇函数即f(-x,-y)=-f(x,y),则二重积分为0；

D区域关于直线y=x对称（此时不用考虑被积函数f(x,y)关于x，y的奇偶性，以下性质相当于对坐标轴重新命名），那么：
1.把被积函数f(x,y)换成f(y,x),则在D上的二重积分值不变. 2.D=D1+D2（D1，D2关于y=x对称），则函数f(x,y)在D1上的积分=函数f(y,x)在D2上的积分.
D区域关于直线y=-x对称（此时不用考虑被积函数f(x,y)关于x，y的奇偶性，以下性质相当于对坐标轴重新命名），那么：
1.把被积函数f(x,y)换成f(-y,-x),则在D上的二重积分值不变.
2.D=D1+D2（D1，D2关于y=-x对称），则函数f(x,y)在D1上的积分=函数f(-y,-x)在D2上的积分.

若 D区域关于直线y=x对称且被积函数f(x,y)=f(y,x),即积分区域和被积函数都关于y=x对称，则二重积分为两倍对称轴一侧区域上的积分；

轮换对称
积分轮换对称性是指坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。
例如：积分区域为u(x,y)=0，如果将积分区域中u(x,y)=0中的x,y,换成y,x后，u(y,x)仍等于0，即u(y,x)=0，也就是积分区域的方程没有变，那么在这个区域上的积分 ∫∫f(x,y)dS=∫∫f(y,x)dS；
满足积分区域轮换对称的性质（此文章所述轮换对称只是说积分区间的性质，而非被积函数要求满足的性质）：

三重积分

普通对称

当空间区域Ω关于坐标面（如：空间区域Ω关于yox坐标面)对称，被积函数关于另一个字母（如：被积函数关于z为奇函数）为奇函数，则三重积分为0。
轮换对称
当自变量x,y,z任意交换顺序后,积分区域不变,则交换顺序后的积分值也不变,这个也叫轮换对称性（注意此时不是考虑被积函数f(x,y,z)关于x,y,z的l轮换对称性，而是考虑积分区域的对称性）其实有的时候要看具体的题目,有些表面上看好像不具备对称性,但是通过平移或变量代换后就可以利用对称性的。
设函数f(x,y,z)在有界闭域Ω上连续,Ω对坐标x,y,z具有轮换对称性,则

曲线积分

第一类曲线积分

普通对称
第一类曲线积分是与方向无关的,当积分域D对称的前提下的.被积曲线需要关于X轴和Y轴对称,这是使用对称性的前提.具体的用法是：
如果积分区域关于X轴对称,函数关于Y是奇函数,则积分为零,
如果被积函数是偶函数,则积分为对称区域上（一半）的两倍。

轮换对称
曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分满足关系式∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds

设L是xoy面上的一条光滑或分段光滑的曲线弧,L对坐标x,y具有轮换对称性,f(x,y)在L上连续,则：

第二类曲线积分

普通对称
如果被积函数在一个给定的积分域内，是关于某个轴的奇函数，则在这个轴上积分时，积分结果为零。（注意轴和对称的对应关系）
若P关于x为奇函数，则∫P(x,y)dx=0；
若Q关于y为奇函数，则∫Q(x,y)dy=0。

如果调换我们之前提到的对称关系，即如果Q(x,y)是对dy积分，但Q(x,y)是对x轴有对称性，则可证明当Q(x,y)是关于x为偶函数时，有∫Q(x,y)dy =0。
同理，若P(x,y)是对dx积分，但是对y轴呈对称性，则可证明，当P(x,y)是关于y的偶函数时，有∫P(x,y)dx=0。

轮换对称
设L是xoy面上的一条光滑或分段光滑的有向曲线弧,L对坐标x,y具有轮换对称性,f(x,y)在L上连续,则

或者∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy.(注意由于曲线积分的方向性，前面多了一个负号）

曲面积分

第一类曲面积分

普通对称

设曲面∑关于yoz 坐标面对称，被积函数f(x,y,z)关于另一个字母z为奇函数，则曲面积分为0,
若被积函数f(x,y,z)关于另一个字母z为偶函数，则曲面积分为两倍对称平面一侧区域上的积分；

轮换对称

设∑是光滑或分片光滑的曲面,∑对坐标x,y,z具有轮换对称性,f(x,y,z)在∑上连续,则

第二类曲面积分

普通对称
设曲面∑关于yoz 坐标面对称，且∑在前半空间里面∑1取上侧，后半空间里面∑2取下侧，
若被积函数f(x,y,z)关于另一个字母z为奇函数，则曲面积分为0,
若被积函数f(x,y,z)关于另一个字母z为偶函数，则曲面积分为两倍对称平面一侧区域上的积分；

轮换对称
设∑是光滑或分片光滑的有向曲面,∑对坐标x,y,z具有轮换对称性,f(x,y,z)在∑上连续,则

完结了！！
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