用Mathematica实现各类积分图形区域绘制与积分计算及结果的快速检验方法（一）

各类积分图形区域绘制与积分计算及结果的快速检验方法

在学习重积分、曲线、曲面积分的过程中，我们知道，对于它们的计算一般都是转换为累次积分（定积分）的描述形式，然后逐步计算定积分来得到结果的；而且，在一般的数学软件中，当希望借助计算机来计算这些积分，或验证这些积分的计算思路及结果是否正确性时，一般也是首先构建这些积分的累次积分表达式，然后逐步定积分来得到！这样的过程不仅要求对描述积分区域的图形非常熟悉，而且还需要给出积分区域的不等式描述形式；尤其对于一些复杂的积分区域，可能还需要基于积分对积分区域的可加性来分割积分区域，通过子区域的不等式描述形式构建累次积分表达式，分成多个积分求和来完成验证过程.

既然借助于数学软件来验证思路与结果，当然希望是操作简单、方便、快捷、有效的. 那么有没有这么好的软件能够不通过构建累次积分表达式的方式，直接计算积分得到结果，来计算或验证多元函数积分的思路与结果的正确性呢？数学软件Mathematica提供了一种快捷、有效的计算操作方法. 该方法通过构建区域，将积分范围直接约束在定义的区域范围内，不需要构建累次积分表达式直接实现多元函数积分的计算.

区域的构建与几何描述

Mathematica使用的Wolfram 语言提供了创建、分析、求解和可视化区域的全面功能. 区域的描述常用方法两种，一种是直接图元法，一种是函数命令描述法，另外就是区域之间的运算更快构建复杂区域.

1、直接图元描述法

直接图元描述就是借助Mathematica中的图元构建函数命令来描述积分范围. 在积分中常用的描述有Line（线）、Circle（圆、椭圆）、Triangle（三角形域）、Rectangle（矩形域）、Polygon（多边形域）、Disk（圆域、椭圆域）、Sphere（球面）、Ball（球体）、Cylinder（圆柱体）、Cone（圆锥体）、Tetrahedron（四面体）、Cuboid（立方体）等等，都是完整的英文单词，更多图元对象的创建可以参见帮助指南中的“基本几何区域”列表.

以上图元命令积分范围的创建直接与绘制图形一样，并且其描述的图形对象对于二维图形可以直接用Graphics显示，三维图形可以直接用Graphics3D显示.

例1：绘制圆心在，半径为，圆心角为的四分之一圆周与顶点坐标为, , , 的四面体图形.

在Mathematica中输入表达式：

A=Circle[{1,1},2,{0,Pi/2}];
B=Tetrahedron[{{1,0,0},{1,0,1},{1,1,1},{0,0,1}}];{Graphics[A],Graphics3D[B]}

执行后的结果如图1所示.

图1

【注】对于显示不完整的Mathematica表达式或数学公式，请在上面左右滑动查看不完整内容！

2、函数命令描述法

除了以上特殊图元的方法构建区域，基于区域的等式、不等式及参数方程描述，Mathematica也可以快速创建复杂区域，常用的函数命令为

ImplicitRegion：描述由不等式和等式给出的区域

ParametricRegion：描述由参数化函数给出的区域

Region：显示区域描述的图形

DiscretizeRegion：离散化显示区域范围

例2：分别构建不等式和，，，描述的区域，并显示其图形.

在Mathematica中输入表达式：

A=ImplicitRegion[1<=x^2+y^2<=4,{x,y}];
B=ImplicitRegion[4<=x^2+y^2+z^2<=9&&x>=0&&y>=0&&z>=0,{x,y,z}];{Region[A],Region[B]}

执行后的结果如图2所示.

图2

例3：分别构建底面半径为，高为的圆锥面所描述的曲面区域和

所确定的空间曲线范围，并显示它们的图形.

在Mathematica中输入表达式：

A=ParametricRegion[{h Cos[t],h Sin[t],h},{{t,0,2Pi},{h,0,3}}];
B=ImplicitRegion[x^2+y^2+z^2==1&&x+y+z==0,{x,y,z}];{Region[A],Region[B]}

执行后的结果如图3所示.

图3

区域组合与几何度量值的计算

Mathematica中创建的区域还可以进行区域间的运算，并直接计算区域的几何的度量值（长度、面积、体积、几何中心等），即在区域上的积分对应的几何意义所得到的一些数值. 具体的操作命令包括：

(1) 区域间的运算：RegionBoundary（获取区域的边界）、RegionUnion（区域并）、Region Intersection（区域交）、Region Difference（区域差）等.

(2) 几何度量值：ArcLength（弧线长度）、Area（区域（表）面积）、Volume（立体的体积）、Perimeter（平面区域的周长）、RegionCentroid（几何中心，形心）、RegionMeasure（自动根据区域类型给出度量值，分别为计数（零维，点集），长度（一维），面积（二维），体积（三维）和勒贝格测度）等.

例4：定义底面中心点在原点，半径为3，顶点为(0,0,3)的圆锥体区域，并计算它的体积、表面积与形心.

在Mathematica中输入表达式：

A=Cone[{{0,0,0},{0,0,3}},3];
B=RegionBoundary[A];{Volume[A],Area[B],RegionCentroid[A]}

执行后的结果为

其中Volume和Area也可以替换为RegionMeasure，Mathematica会自动根据区域类型得到相应的立体的体积和表面的面积.

例5：计算抛物线与直线所围成的图形的面积.

采用区域交运算操作定义曲线围成区域并计算面积，输入的Mathematica表达式为：

A=RegionIntersection[ImplicitRegion[y^2<=2x,{x,y}],ImplicitRegion[y>=x-4,{x,y}]]Area[A]

执行后的显示的结果为

即区域定义运算的结果的等价区域描述形式，并显示曲线所围平面区域面积为18.

四多元函数积分的计算

下面以实例的形式给出Mathematica中直接以区域范围方式直接计算多元函数的积分.

例6：（二重积分）计算二重积分

其中为半圆周及轴所围成的闭区域.

输入Mathematica表达式：

A=ImplicitRegion[0<=y<=Sqrt[2a x-x^2]&& 0<=x<=2a,{x,y}];
Assuming[a>0,Integrate[Sqrt[4a^2-x^2-y^2],{x,y}\[Element]A]]

Mathematica表达式的传统二维输入格式如下：

执行后显示结果为

例7：（三重积分）设闭区域由不等式

输入Mathematica表达式为

A=ImplicitRegion[x^2+y^2+(z-a)^2<=a^2&& x^2+y^2<=z^2,{x,y,z}];
Assuming[a>0,Integrate[z,{x,y,z}\[Element]A]]

Mathematica表达式的传统二维输入格式如下：

执行后的三重积分计算结果为

输入Mathematica表达式为

A=ParametricRegion[{Cos[t],Sin[t],2t},{{t,0,2Pi}}];
Integrate[x^2+y^2+z^2,{x,y,z}\[Element]A]

执行后计算得到结果为，即

s={-2y,2x};
A=ImplicitRegion[x^2+y^2==a^2,{x,y}];
Assuming[a>0,Integrate[{(x+y)/(x^2+y^2),-((x-y)/(x^2+y^2))}.(s/Norm[s]),{x,y}\[Element]A]]

输入的Mathematica表达式为

A=ImplicitRegion[z==Sqrt[x^2+y^2]&&x^2+y^2<=2a x,{x,y,z}];
Assuming[a>0,Integrate[x y+y z+z x,{x,y,z}\[Element]A]]

Mathematica表达式的传统二维输入格式如下：

执行后计算得到的积分结果为

输入的Mathematica表达式为

n=Grad[y^2+z^2-1,{x,y,z}];
f={0,y z,z^2}.(n/Norm[n]);A=ImplicitRegion[y^2+z^2==1&&z>=0&&0<=x<=1,{x,y,z}];Integrate[f,{x,y,z}\[Element]A]

Mathematica表达式的传统二维输入格式如下：

执行计算后的积分结果为2.

【注1】对于不定积分、定积分，直接用Integrate命令计算即可，其计算格式为：

计算不定积分：Integrate[f，x]，关于x变量的函数f积分，得到一个原函数

计算定积分：Integrate[f，{x,a,b}]，关于x变量在区间[a,b]上积分，b可以是正无穷大，Infinity；a可以是负无穷大，-Infinity.

结束语

本文通过实例的方式，对数学软件中如何定义积分区域直接计算多元函数积分的思路、方法和具体操作进行了详细的分析与探讨. 从应用范例中可以直观看到，这种计算多元积分的方法对于日常积分计算思路、方法与结果正确与否的验证提供了一个非常方便、快捷、有效的方式.

不过值得注意的是，对于重积分、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分，既使积分范围不具有统一的描述形式，一般也可以直接通过多个区域的定义来一次性积分得到结果；但是，对于对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分，对不具有统一数学描述形式的积分曲线或曲面，由于切向量与法向量计算使用的方程不同，可能需要基于积分对积分曲线或曲面的可加性，通过分割积分范围单独计算子范围上的积分并求和来实现. 同时，并不是所有的积分的计算都可以通过这种方式来计算得到结果，对于一些复杂的积分可能需要事先进行一定的数学处理，如被积函数的变换，积分类型的转换等操作以后才能完成计算. 也就是说，要想让计算机正确高效的帮助我们解决问题，一定的数学基础和必要的数学能力必不可少.

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