Lecture 13: Bernoulli Process

前言：前面12节课是有关概率的知识，这节课是开始需要研究随时间变化的现象，也就是随机过程，random processes ，stochastic processes。random processes are supposed to be models that capture the evolution of random phenomena over time，这节课讲伯努利过程。

先从简单的随机过程开始讲起，伯努利过程是离散时间的随机过程。

两种解读方式：
第一种是每个时间对应一个单独的独立随机变量，随时间进行构成一个序列。
第二种是把所有时间放在一起看，当成一个随机变量。
经过计算，当0 < p < 1时候, sample space 中的每个outcome的概率都是0，这有点像连续状态空间里的outcome

对于伯努利过程，成功次数为k次的结果的集合作为事件的概率为上图中的P(S=k)P(S = k)P(S=k)
由于每次实验同分布, 且有S=∑i=1nXiS = \sum_{i = 1}^n X_iS=∑i=1nXi，则E[S]=∑i=1nE[Xi]=n∗pE[S] = \sum_{i = 1}^n E[X_i] = n * pE[S]=∑i=1nE[Xi]=n∗p, 因为实验是独立的, 所以Var(S)=n∗p∗(1−p)Var(S) = n * p*(1-p)Var(S)=n∗p∗(1−p)

我们再换一种随机变量，T1T_1T1定义为第一次出现成功的试验次数。
E[T1]E[T_1]E[T1]怎么求的可以看这篇cite
Var(X)=E[X2]−(E[X])2上面E[X]求完了，只需要求E[X2],求法和求E[X]差不多E[X2∣X=1]=1E[X2∣X>1]=E[(X+1)2]=E[X2]+2∗E[X]+1E[X2]=p∗E[X2∣X=1]+(1−p)∗E[X2∣X>1]=p∗1+(1−p)∗(E[X2]+2∗E[X]+1)这样E[X2]就能算出来了，Var(X)也就能算出来了。Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \\ 上面E[X]求完了，只需要求E[X^2],求法和求E[X]差不多\\ E[X^2|X = 1] = 1\\ E[X^2|X >1] = E[(X + 1)^2] = E[X^2] + 2 * E[X] + 1\\ E[X^2] = p * E[X^2|X = 1] + (1-p) * E[X^2|X >1]\\ = p * 1 + (1-p) * (E[X^2] + 2 * E[X] + 1)\\ 这样E[X^2]就能算出来了，Var(X)也就能算出来了。 Var(X)=E[X2]−(E[X])2上面E[X]求完了，只需要求E[X2],求法和求E[X]差不多E[X2∣X=1]=1E[X2∣X>1]=E[(X+1)2]=E[X2]+2∗E[X]+1E[X2]=p∗E[X2∣X=1]+(1−p)∗E[X2∣X>1]=p∗1+(1−p)∗(E[X2]+2∗E[X]+1)这样E[X2]就能算出来了，Var(X)也就能算出来了。
上图中蓝色的区间不是geometric§，因为0 的起始位置应该是未知的，绿的的区间才符合geometric§，因为这时已经有了一个0，已经知道了起始位置，那么多久之后才有1 呢，这和从开始实验到第一个1 出现完全相同的。0连续出现的长度和绿色区间的长度正好相等。

第k次到达的时间是多个第一次到达时间的加和。每次到达所需时间互相之间都是独立的且都是几何分布。

第k次到达的时间是t的概率：这个概率是【1，t-1】时间内到达了k-1次，并且t 时刻到了1次，这两个事件的joint probability。

伯努利过程可以分解,也可以合并。

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