随机生成一个有向无环图

写数据结构作业时想到的一个问题…

我们不妨先做一些这个随机的有向无环图的假设：

首先，它是个有向无环图，并且没有重边
假设随机从图中取出两个不相同的点，那么它们之间有边的概率为固定值（其实还可以有其他类型的随机）

我们一个一个来解决这些问题

让图无环

让一个图无环，关键在于边的方向。对于一个DAG，一定存在一个拓扑序。对于DAG中的每一条边，一定是是拓扑序中靠前的点指向拓扑序中靠后的点。那么我们可以给DAG指定一个随机的拓扑序，然后生成边后，根据边的两个端点指定边的方向。这样可以保证图一定是无环的

让边生成概率固定

我们可以枚举任何两个顶点，然后按照给定 p p p 的概率决定是否生成一条边

en，这样就生成了一个比较随机的DAG了，不过生成的复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的，其中 n n n 是点的个数。如果生成的图节点数量较少，这样似乎也没什么问题。不过，假设要求DAG的点数和边数都是固定值呢？

随机一个给定点数和边数的DAG

其实这一点也很好办，这个DAG最多有 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n - 1)}{2} 2n(n−1) 条边（没有重边的话），那么我们在枚举的过程中，可以维护一下目前还需要添加的边数 $a $和没有枚举的边数 b b b

枚举过程可以化为：

设置 b b b 初始为 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n - 1)}{2} 2n(n−1) ， a a a 为给定值
枚举到编号 i , j i, j i,j 之间的点是否连边
有 a b \frac a b ba 的概率生成一条边，如果生成了一条边，那么 a = a − 1 a = a - 1 a=a−1
还没有枚举的边少了一条， b = b − 1 b = b - 1 b=b−1
如果没有枚举完，goto 2

这样生成DAG的时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) ，其实这就是随机生成一个子集

但如果边数比较少而点数比较多，这样的效率还是挺低下的，因为大部分时间都被浪费在了无意义的枚举上。所以是否能找到一些略微高效的方法呢？

假设要生成 m m m 条边，并且 m m m 远小于 n 2 n ^ 2 n2 ，那么我们可以进行如下的循环：

随机指定两个顶点
若这两个顶点之间有边，那么goto 1，否则进行下一步
在这两个顶点之间添加一条边
m = m − 1 m = m - 1 m=m−1
如果 m m m 不为 0 0 0 ，goto 1，否则结束

由于 m m m 远小于 n 2 n ^ 2 n2，冲突的概率还是很小的，至于怎么检查两条边之间是否有边，可以用一堆乱七八糟的用于查找的数据结构，包括哈希表，平衡树等…

让这个图有唯一的源点，并且连通

先不考虑边是否等概率生成

图有唯一的源点，并且连通，那么对于任意一个不是源点的点，都存在一条源点到它的路径

那么如果除了源点之外每一个边都有至少一条边连向它，那么它就一定可达

我们按照拓扑序枚举边的结束点，然后在拓扑序中这个点之前随机找至少一个点作为边的起始点，这样可以保证每一个点都可达

那么，怎么让边的出现等概率呢？

暂时不会，以后再说…

随机生成一棵树

我们只需要在枚举边的结束点的时候，在拓扑序中更靠前的位置中有且只有指定一个点，然后在这两个点之间连一条边。这样我们既可以保证图是连通的，又可以保证有 n − 1 n-1 n−1 条边，那么这就是一棵树

嗯，懒得画图和放代码了