第四章、区间估计

4.1区间估计基本概念

4.1.1区间估计

参数估计分为点估计和区间估计，第三章中我们已经对众多点估计方法有了比较详细的介绍。而现在我们思考下，用点估计量来估计参数，估计正确的概率是多少呢？如果是连续型总体的话，估计量等于参数真值的概率是0！也就是说，点估计对于判断准确的把握是微乎其微的，所以我们需要提出区间估计。

点估计是用一个统计量来作为参数的估计，区间估计是找两个统计量

区间估计（量）。（注意，闭区间不是必要的，可以是开区间也可以是左开右闭等等）

例

也就是说，随机区间

注意不说

，这是个比较高的概率！

4.1.2评价区间估计好坏

就像点估计部分提到的一样，根据区间估计的定义，我们可以选取任何满足

※置信度准则

随机区间涵盖参数真值的概率称为置信度，即下面这个概率

（注意我们不说参数

我们希望置信度越高越好。

然而这个概率一般来说是与

置信系数，定义为

所以我们希望置信系数能够比较高。

例 样本

解 使用区间

对概率中事件的等价变形，根据之前的定理可以配凑出

我们运气比较好，这个概率不依赖分布的参数，所以此时置信度也就是置信系数。在

我们可以看到

然而是不是置信度越高越好呢？当然不是，比如我们取整个实数轴作为区间估计，那么它涵盖参数真值的概率就是1，但是这样就没有任何意义了！所以我们还希望区间的长度不要太大，这也就是下面的精确度准则。

※精确度准则

关于这个准则有不同的标准，用的最多的就是随机区间

平均长度

例 求上面例子中区间估计的平均长度

解 上下限相减，关于样本均值那项消掉，剩下关于样本方差的。而正态总体的样本方差分布与卡方有关，于是通过配凑得到平均长度为

在样本容量固定的情况下，我们将两个例子比较一下：

• k越大，平均长度越大，精确度越低
• k越大，置信系数越高，置信度越高

可以发现，置信度与精确度实际上是相互制约的，如果我们追求高置信度，那么精确度就必然有损失，反之同理。但考虑到我们当时提出区间估计，就是要解决点估计的置信度低这么一个问题，所以统计学家Neyman提出：在保证置信度的前提下，追求高的精确度。

4.1.3置信区间

根据名字，置信区间应该从属于置信度准则，下面是书上对它的定义，其中

定义 对给定的

此时

这一区间估计实际上是一个统计量，当样本确定后，它就是一个完全确定的区间，也就是区间估计的一个实现。需要注意一点，不能把概率写成

因为小写代表的是区间估计的实现，它是一个具体的区间，而参数真值也是一个具体的值，其中没有任何随机的东西了，求概率就没有任何意义！

我们可以从两个角度来理解置信区间，对于一个置信系数为

它的含义是什么呢？

• 你可以理解为我们抽取样本后，得到区间估计的一个实现，它至少有
  的机会包含参数真值.
• 也可以理解为，我们抽取100组样本，得到区间估计的100个实现，其中应该有
  个区间包含参数真值.

对于上面这个图，中间的黑线就是那个实际存在但你我都不知道的参数真值，而黄线代表了我们抽取样本后得到的区间估计的实现，其中包含黑线的黄线数量，反映了区间估计的置信系数。

4.1.4同等置信区间

根据Neyman原则， 在保证置信度的前提下，我们要兼顾精确度。所以在给定置信水平为

定义 对给定的

4.1.5置信限

有时我们只关心参数不低于多少或不超过多少，比如研究电视机寿命时只会希望它不低于某个值，研究污染指数时只会希望它不高于某个值，这样我们就要用到置信限的概念。

将之前定义中的区间改为

单侧置信区间（注意单侧不能省略，否则默认是双侧！），其中

单侧置信下限和单侧置信上限。

类似地，我们将大于等于改成等于，就得到了同等单侧置信区间和同等单侧上下限.

下面这个引理给出单侧置信区间与双侧置信区间的关系，只是用来熟悉概念，之后并不会用它做任何事情：

引理 设

证明 完全按照定义，把单侧置信限翻译成概率条件

利用概率运算得

4.1.6置信域

置信域是针对多个代估参数的，这时参数空间是多维的，所以“区间”就变成了多维空间中的“区域”，二维时我们一般选取矩形区域，三维时取椭球、长方体区域等。

4.2枢轴（变）量法

枢轴量法是帮助我们寻找合适的区间估计的方法，主要分为三步：

• 构造枢轴量
• 根据置信水平，得常数
  （如果是单侧则只有一个常数）
• 等价改写概率得区间估计

什么是枢轴量？

枢轴量满足两个要求：

• 形式上包含代估参数和样本，且不包含任何其他未知的参数
• 分布完全已知

关于第一点的说明：

1. 对于两个参数都未知的正态总体，如果求期望
   的区间估计，那么构造的枢轴量就必须含有
   ，且必须不含有
   !
2. 因为枢轴量中包含了代估参数，实际上也是未知参数，所以它不是统计量！

如何构造枢轴量？

从代估参数的点估计量或是充分统计量出发，通过配凑让分布中不包含任何未知参数。

如何选取常数？

以求同等置信区间为例，我们已经构造了枢轴量

而满足上面这个概率等式的常数

两个原则：

• 选取的常数使得平均置信区间长度
  最小.
• 如果使得平均置信区间长度最小的常数不易计算得出，就选取使得两头概率一样的常数，即

这样得出的区间也称为等尾置信区间.特别当枢轴量的分布是对称的时候，可以取常数

啥叫等价改写概率？

将概率中不等式

通过等价变形改写为关于代估参数不等式，即

例 样本

解

第一步，通过点估计量或充分统计量构造枢轴量。

参数

第二步，找常数

由置信水平条件有

其中第一个等式利用密度函数

第三步，等价改写概率得区间估计

第二步中概率等价于

所以区间估计为

第二步中符合概率条件的常数有很多，所以我们想要选取一组使得平均区间长度最短，即

利用条件极值方法得到