三维数学基础2：矩阵、齐次坐标

矩阵（matrix）是由 mxn 个标量组成的矩形数组。矩阵便于表示线性变换(transfromation)，如平移（translation）、旋转（rotation）和缩放（scaling）。点和矢量都可以用行矩阵（1xn）或列矩阵（mx1）进行表示。

仿射矩阵（affine matrix）

若 3x3 矩阵的所有行和列矢量为单位矢量，则该矩阵称为特殊正交矩阵、各向同性矩阵、标准正交矩阵，这种矩阵表示纯旋转。

变换矩阵：4x4矩阵可以表示任意3维变换，包括平移、旋转和缩放。利用矩阵的乘法，可以将变换矩阵施加在点或矢量上。

仿射矩阵（affine matrix）：是一种4x4矩阵，由平移、旋转、缩放或切变（shear）组合而成的变换。

矩阵乘法

若矩阵A、B为变换矩阵，则其乘积 P = AxB 也为变换矩阵，并且变换结果等同于先后进行A、B变换。例如若A为旋转矩阵，B为缩放矩阵，则P能对点或者矢量进行旋转和缩放变换。

矩阵的乘法不符合交换律，乘法的次序会影响结果。

单位矩阵（identity matrix）：单位矩阵乘以任何矩阵，结果都是和原来一样的矩阵。

逆矩阵（inverse matrix）：矩阵A的逆矩阵，可以还原矩阵A的变换。一个矩阵乘以他的逆矩阵，结果必定为单位矩阵。并非所有的矩阵都有逆矩阵，但是所有的仿射矩阵都有逆矩阵。

若矩阵的逆矩阵存在，则可用高斯消去法（Gaussian elimination）或LU分解（LU decomposition）求之。求多个矩阵乘法串接后结果的矩阵，相当于反向串接（乘法）原先矩阵的逆矩阵。

转置（transpose）矩阵：转置矩阵就是把原来矩阵以主对角线为对称轴做反射，原来矩阵的行变成矩阵的列，列变成行。

标准正交矩阵（纯旋转）的逆矩阵和转置矩阵是一样的-此特性非常好，因为计算转置矩阵一般比计算逆矩阵要快得多。

和逆矩阵相同，计算矩阵串接的转置矩阵，为反向串接各个矩阵的转置矩阵。

齐次坐标（homogeneous coordinates）

齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。

齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统。

齐次坐标的运用-用4x4矩阵乘法表示平移：我们没法通过矩阵乘法实现3维矩阵对3维坐标点的平移，若采用4x4矩阵和4维坐标点可以很简单的完成：

齐次坐标下表示矢量和点：维度提升，矢量补0，点补1。

在数学上，点和方向矢量的处理是有偏差的。当用一个矩阵变换一个点时，平移、旋转、缩放可以施加在该点上产生效果。但是，矩阵变换一个方向矢量时，需要忽略矩阵的平移效果（方向矢量本身并无平移，加上平移后改变他的模）。

为了实现这个效果，我们只需要把矢量的第四位设置成0，即可忽略所有矩阵中的平移效果（我们本来是通过增加一位1来实现平移的），而点的第四位使用1来表示，接受矩阵的平移效果。

进阶理解齐次坐标