鱼眼图像校正（球面等距投影模型）

为了真正的理清鱼眼图像校正的原理，查阅了很多的资料，本文主要从以下几个方面详细阐述基于球面透视投影等距模型的鱼眼图像校正算法。
1，鱼眼相机的构造原理。
2，透视投影。
3，等距投影算法

鱼眼相机的构造

成像模型的不同，鱼眼相机的成像原理不同于一般的小孔成像模型。对于一般的小孔成像模型其成像的示意图如下所示：

我们先展示了小孔成像的相关知识，不同于小孔成像鱼眼图像由于为了获得更加宽广的视角，因此允许了图像畸变的存在。其成像也就不同于小孔成像的线性模型。对于鱼眼相机，我们一般将其成像模型用球面，抛物面模型来代替。下面先来看看鱼眼相机的成像光路图：

从图中可以看出，鱼眼相机的成像路径是完全不同于一般的小孔成像的相机。一般的鱼眼相机由以下几个部分组成：

为了更好的描述，鱼眼相机的成像原理，以及其成像过程，通常根据应用场景的不同将鱼眼相机等效为以下的几种模型：

图中的等距投影模型就是本文算法所采用的模型，对于实际的理解，我们可以认为相机的成像模型实际上表征的是成像的像高与入射角之间的关系。以等距投影模型为例来说明，公式中r表示的是传感器上成像的像高。f表示的是相机的焦距。theta表示的是入射角的大小。成像模型实际上是为了用来描述入射角与成像像高之间的映射关系，等距投影是以线性关系来定义，等立体角投影模型是用正弦函数来定义，立体视觉投影是以正切函数来定义的。那么如何来理解所谓的等距投影呢？先来看看等距投影的示意图：

从图中可以看出以相同增量的入射角theta来进行投影，等距投影模型将这些相同增量位置的像素投影到成像面上的时候所得到的像高是相等的。其实这个关系从等距投影的r的表达式上也可以看出来。
明白了等距投影的概念时候，下一个需要理解的概念就是图像畸变。图像的畸变分为径向畸变和切向畸变。所谓的径向畸变意思就是沿着成像半径方向的图像位置的偏移，切向畸变表示的是沿着成像点切线方向图像像素点位置的偏移。可以借助于下面这张图来理解下图像畸变的概念。

根据成像形状的不同可以将鱼眼相机分为普通鱼眼相机和对角型。不同的相机模型所采用的原理是不同的，这对我们选择图像的校正方案是很重要的。

透视投影

关于透视投影的相关知识可以参考下面这篇博客，作者详细的讲解了透视投影的相关知识。
http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/07/25/2582119.html

等距投影算法

(考虑到我们项目的鱼眼相机实际上是属于壁挂式的安装方式，采用球面模型等距投影算法相比于经纬度法会更好一点。)

算法说明：
如图中所示将鱼眼成像模型等效为一个半球面，
P(x,y,z)：为现实空间(CCS)中的一点;
P1(x1,y1,z1)：为P点与虚拟成像光心连线交成像半球面的一点。
P2(u,v):过点P1作XOY平面垂线，交XOY平面一点P2。(注意在实际的成像过程中XOY平面并非实际的成像面，这里画出来只是为了方便理解。真实的成像面实际上是上图中最下方的xoy平面。)
r:不同角度的景物通过鱼眼相机的投影在传感器上的像高。r的不同表达式代表着不同的成像模型，本次算法由于采用等距投影模型故r的表达式为r = f*arg(入射)；

公式的推导：
鱼眼图像的等距投影模型：r = f* ,其中f表示的是摄像机的焦距。表示的是光线的入射角。
设鱼眼图像上的像素的坐标为(x,y)。目标图像的平面即为上图中P(X,Y,Z)所在的平面。一般我们取Z=R，其中R为鱼眼图像的半径。由上图的示意图可得到：

平面的投影。同时也是实际成像面中像高r与实际图像坐标x轴之间的夹角。具体理解可参考上图。当得到了theta ，alpha , 这两个值之后，实际上也就得到了球面上一点P1(x1,y1,z1)的极坐标的表达式。2维的平面坐标实际上是通过极坐标这个桥梁映射到三维坐标系中的。此时P1可用极坐标表示出来。P1( theta,alpha ).
由空间一点的极坐标转化为空间点的三维坐标：
P1点的三维坐标为：

在得到空间的点的三维坐标之后，下一步就是要将这个空间点进行球面透视变换。将虚拟球面上的点P1，映射到目标图像平面。根据相似三角形的关系，考虑图中三角形OPP3，OP3P3’，与可知：

实际上我们校正后的目标图像的平面就是Z = R平面。因此假设校正后的目标图像的坐标为（u,v）。可以得到鱼眼图像的源图像(x,y)和目标图像之间的映射关系。

根据变换之后的鱼眼图像的效果，调整鱼眼图像半径以达到最好效果。同时编程时建议采用矩阵运算的形式进行，减少循环迭代次数，提高算法运行效率。
当然，对于最后的推到公式实际上有许多的方法，除了使用空间三角形的相似定理之外。还可以使用两个具有相同夹角的三角形，其相同角的三角函数值相同。再结合球面模型的空间表达式x2+y2+z2=R2,以及抛物面的空间表达式来求解目标图像与源图像之间的像素映射关系。