1. 迭代法求解非线性方程组的原理

参考西安交大数值分析教材

2. 迭代法求解非线性方程组的计算过程

牛顿法求解非线性方程组的计算过程如下

弦割法与牛顿法类似，弦割法将牛顿法中的偏导数用差商替代，即将上述牛顿法中的第(ii)步和第(iii)步转化为以下迭代格式

布罗伊登法求解非线性方程组的计算过程如下

3. 程序使用说明

程序使用方法为：（1）定义自变量；（2）使用（1）中的自变量定义非线性方程组列表；（3）给定初值，精度以及迭代次数；（4）调用方程netwon()，broyden()，string_cut()，分别对应牛顿法，布罗伊登法和弦割法。具体如下所示

4. python实现代码

'''
使用牛顿法、弦割法、布罗伊登法求解非线性方程组
'''
import sympy
import pprint
import numpy as np#计算向量范数
def Norm2(p):sum_of_p = sum([i ** 2 for i in p])return sum_of_p ** 0.5#牛顿法
def newton(A, x_0, args, prec=0.00000001, n=10):funcs=sympy.Matrix(A)args=argsjacobianMatrix=funcs.jacobian(args) #计算雅可比矩阵#pprint.pprint(jacobianMatrix.inv())x_0=sympy.Matrix(x_0)x = argsx_pre = x_0for k in range(0, n): #迭代求解b = - funcs.subs(zip(x, x_pre)) #计算f（x【k】）J = jacobianMatrix.subs(zip(x, x_pre))  #计算雅可比矩阵Jf（x【k】）deltx = sympy.Matrix(J.inv() * b) #使用雅可比矩阵的逆求解deltxx_new = x_pre + deltx  #迭代跟新xif Norm2(funcs.subs(zip(x, x_new))) < prec: #如果满足精度要求则返回#pprint.pprint(x_new)#print(k)return([x_new,k])x_pre = x_newreturn("迭代次数较少，无法满足精度要求")#弦割法
def string_cut(A, x_0, args, prec=0.00000001, n=10):funcs = sympy.Matrix(A)#args = argsh = 0.1 #设置h的大小e = np.eye(len(A))*h#pprint.pprint(e)x_0 = sympy.Matrix(x_0)x = argsx_pre = x_0c=[]for k in range(0,n):for p in range(len(A)):c.append([A[p].subs(zip(x, (x_pre + sympy.Matrix(e[j]))))for j in range(0, len(A))])fij = sympy.Matrix(c) #计算fij【k】#pprint.pprint(fij)b = funcs.subs(zip(x, x_pre)) #计算fi【k】z = fij.inv() * b  #求解zdeltx = h * z / (sum(z) - 1)  #计算deltxx_new = x_pre + deltx #更新xif Norm2(funcs.subs(zip(x, x_new))) < prec: #满足精度要求则返回#pprint.pprint(x_new)#print(k)return([x_new,k])x_pre = x_newc = []return("迭代次数较少，无法满足精度要求")def broyden(A, x_0, args, prec=0.00000001, n=10):funcs = sympy.Matrix(A)args = argsjacobianMatrix = funcs.jacobian(args)x_0 = sympy.Matrix(x_0)x = argsb = funcs.subs(zip(x, x_0))J0 = jacobianMatrix.subs(zip(x, x_0))x_1 = x_0 - J0.inv() * bprec = prec#以下得到两个初始迭代值和初始A【0】矩阵x_pre = x_0x_now = x_1J = jacobianMatrix.subs(zip(x, x_pre)).inv() #A【0】的逆#迭代计算for k in range(0, n):s = x_now - x_pre #计算s【k】y = funcs.subs(zip(x, x_now)) - funcs.subs(zip(x, x_pre)) #计算y【k】temp1 = (s - J * y) * s.T * Jtemp2 = (s.T * J * y)num = temp2 ** (-1)e=np.eye(len(A))n_num=np.array(num)e_num=e*(n_num)diag = sympy.diag(e_num)temp = temp1 * diag  #将除以一个数变为乘其逆的对角单位矩阵J_new = J + temp #得到A【k】的逆x_new = x_now - J_new * funcs.subs(zip(x, x_now)) #更新x的值if Norm2(funcs.subs(zip(x, x_new))) < prec: #如果满足精度要求则返回#pprint.pprint(x_new)#print(k)return [x_new, k]x_pre = x_nowx_now = x_newJ = J_newreturn ("迭代次数较少，无法满足精度要求")if __name__ == "__main__":#---------------------------计算实习7.3.1-------------------------------x1, x2, x3 = sympy.symbols("x1 x2 x3") #定义自变量args = sympy.Matrix([x1, x2, x3]) #定义自变量参数矩阵#定义非线性方程组列表A = [x1 ** 2 + x2 ** 2 + x3 ** 2 - 1.0,2 * x1 ** 2 + x2 ** 2 - 4 * x3 ** 2,3 * x1 ** 2 - 4 * x2 ** 2 + x3 ** 2]x_0 = [1.0, 1.0, 1.0] #设置初始向量prec = 0.00000001 #设置精度n=20 #设置迭代次数p = newton(A, x_0, args, prec, n) #牛顿法求解pprint.pprint(p)p = broyden(A, x_0, args, prec, n) #布罗伊登法求解pprint.pprint(p)p = string_cut(A, x_0, args, prec, n) #弦割法求解pprint.pprint(p)#----------------------------计算实习7.3.2-------------------------------# x1, x2 = sympy.symbols("x1 x2")# args = sympy.Matrix([x1, x2])# A=[sympy.cos(x1**2+0.4*x2)+x1**2+x2**2-1.6, 1.5*x1**2-1/0.36*x2**2-1.0]# x_0=[1.04, 0.47]# prec = 0.00000001# n=20# p = newton(A, x_0, args, prec, n)# pprint.pprint(p)# p = broyden(A, x_0, args, prec, n)# pprint.pprint(p)# p = string_cut(A, x_0, args, prec, n)# pprint.pprint(p)

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