Hall定理及其充要性证明

Hall定理:

若二分图GGG中两部分的点的集合分别为X,YX,YX,Y下设∣X∣≤∣Y∣|X| \leq |Y|∣X∣≤∣Y∣
则二分图存在完备匹配当且仅当XXX中的任意kkk个点至少与YYY中的kkk个点相邻

证明

必要性显然.
充分性证明:
反设GGG满足条件且GGG中最大匹配不是完备匹配
则存在x1∈Xx_1 \in Xx1∈X使得x1x_1x1未被匹配.
由条件,存在y1∈Yy_1 \in Yy1∈Y 使得x1,y1x_1,y_1x1,y1相邻且y1y_1y1已被匹配.
所以存在x2∈Xx_2 \in Xx2∈X 使得 x2x_2x2 与 y1y_1y1匹配
依此类推可以找到一条增广路径,矛盾.

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