曼哈顿距离（值得收藏）

曼哈顿距离

定义

出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。
两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离d(i,j)=|X1-X2|+|Y1-Y2|

数学性质

非负性：d(i,j)≥0 距离是一个非负的数值
同一性：d(i,i)= 0 对象到自身的距离为0
对称性：d(i,j)= d(j,i)距离是一个对称函数
三角不等式：d(i,j)≤d(i,k)+d(k,j)从对象i到对象j的直接距离不会大于途经的任何其余对象k的距离

曼哈顿距离解决什么问题呢？

曼哈顿距离可以代替一个广搜，不过这个广搜是有条件限制的：
①只能上、下、左、右四个方向进行移动（很多迷宫问题其实都有这个特性）
②只求两点之间最短路径的长度，不求路径过程 。

例如

Description

在一个 N 行 M 列的字符网格上，恰好有 2 个彼此分开的连通块。每个连通块的一个格点与它的上、下、左、右的格子连通。如下图所示：

现在要把这 2 个连通块连通，求最少需要把几个’.’转变成’X’。上图的例子中，最少只需要把 3个’.’转变成’X’。下图用’*’表示转化为’X’的格点。

Input

第 1 行：2 个整数 N 和 M(1<=N,M<=50) 接下来 N 行，每行 M 个字符， ’X’表示属于某个连通块的格点，’.’表示不属于某个连通块的格点

Output

第 1 行：1 个整数，表示最少需要把几个’.’转变成’X’

Sample Input

6 16
…
…XXXX…XXX…
…XXXX…XX…
.XXXX…XXX…
…XXXXX…
…XXX…

Sample Output

3

有两种解法，一种是先用 DFS 把两个联通块区分开来，然后用 BFS求最短距离。另一种就是笔者要讲的 DFS + 曼哈顿距离。

代码如下

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=50;
char g[N][N];
struct Node
{int x,y;
}Edge;vector<Node> dist[2];int n,m,cnt;int dx[]={0,1,0,-1},dy[]={1,0,-1,0};void dfs(int a,int b)
{g[a][b] = '.';  //避免重复搜索Edge.x = a;Edge.y = b;dist[cnt].push_back(Edge);for(int i=0;i<4;i++){int x = a + dx[i];int y = b + dy[i];if(x >= 0 && y >= 0 && x < n && y < m && g[x][y] == 'X')dfs(x, y);}
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%s",g[i]);cnt=0; for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<m;j++)if(g[i][j] == 'X')  //搜到一个连通块{dfs(i,j);cnt ++;}int ans = 0x3f3f3f3f;for(int i=0;i<dist[0].size();i++){for(int j=0;j<dist[1].size();j++){ans = min(ans, abs(dist[0][i].x - dist[1][j].x) + abs(dist[0][i].y - dist[1][j].y) - 1);}}printf("%d\n",ans);return 0;
}

再来一道娱乐题
菱形

输入一个奇数 n，输出一个由 * 构成的 n 阶实心菱形。

输入格式

一个奇数 n。

输出格式

输出一个由 * 构成的 n 阶实心菱形。
具体格式参照输出样例。

数据范围

1≤n≤99

输入样例：

5

输出样例：

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;int sx = n / 2, sy = n / 2;for (int i = 0; i < n ; i ++ ){for (int j = 0; j < n; j ++ ){if ( abs(sx - i) + abs(sy - j) <= n / 2 ) cout << "*";else cout << " ";}cout << endl;    }return 0;
}

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