6-13图-拓扑排序

拓扑排序

一.基础知识

1.AOV网（用顶点表示活动的网）
（Activity On Vertex NetWork）

用DAG图（有向无环图）表示⼀个工程，顶点表示活动，有向边<V_i, V_j>表示活动V_i必须先于活动V_j进行

因此：AOV网一定是有向无环图

如：番茄炒蛋的AOV网

2.拓扑排序

把顶点排成一排，且必须满足以下条件

（1）每个顶点出现且只出现一次
（2）AOV网中A→B，表示拓扑排序中A排在B之前

这种序列成为原图的一个拓扑排序

注：
（1）有向无环图才有拓扑排序
（2）拓扑排序结果可能不唯一

二.拓扑排序的构建

首先，准备厨具和买菜任选一

如果选择准备厨具

下一个必定选买菜

然后打鸡蛋、洗番茄任选一。如果选择洗番茄

切番茄、打鸡蛋任选一。如果选择切番茄

再依次选择打鸡蛋、下锅炒、吃。完成

描述总结：

①从AOV网中选择一个没有前驱（入度为0）的顶点并输出
②从网中删除该顶点和所有以它为起点的有向边
③重复①和②直到当前的AOV网为空或当前网中不存在无前驱的顶点为止（不存在回路），即不存在回路才能将其加入拓扑序列，因此，拓扑排序可以用来判断一个有向图是否有环（回路）

如：当前所有顶点的入度>0，无法执行①

三.算法实现

indegree[]：当前顶点入度
print[]：记录拓扑序列
栈S：保存度为0的顶点（也可用队列、数组）

在此图中，indegree[]={0,1,0,2,2}
print[]={-1,-1,-1,-1,-1}

开始

for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)if (indegree[i] == 0)push(S, i);//将所有入度为0的顶点进栈

此时0、2入栈

int count = 0;//计数，记录当前已经输出的顶点数
while (!IsEmpty(S)){Pop(S, i);//栈S中弹出2，剩0print[count++] = i;//输出顶点i=2}

回顾：print[]：记录拓扑序列

2出栈，此时count=0，指向0号位的2
print[count++]表示先print[count]（记录2为拓扑序列），再count++（count指向下一个，如图）

然后
通过邻接矩阵，找到2指向的结点（3和4），把这些弧去掉

目的：将所有i=2指向的顶点的入度-1，并且将入度为0的顶点压入栈S

ArcNode* firstarc;//指向第一条依附于该顶点的弧的指针，即2→3的弧
struct ArcNode* nextarc;//指向下一条弧的指针，即2→4的弧
int adjvex;//该弧所指向的顶点位置，即3

当前i=2

for (p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc) {//第一次p=第一条依附于2的弧的指针：2→3的箭头
//第二次p=指向下一条弧的指针：2→4的箭头v = p->adjvex;
//第一次v=该弧所指向的顶点位置,即v=3
//第二次v=该弧所指向的顶点位置,即v=4if (!(--indegree[v]))push(S, v);//若该节点入度为0，则入栈
//原来顶点3和顶点4的入读均为2，-1均为1，不入栈}

if (!(- -indegree[v])) 相当于先indegree[v] - - ，再判断if
if(!x)表示：若x为假（为0)，则执行后面语句
如：顶点3的入度减1，再进行判断，如果为0，则压入栈（此处顶点3的入度减1后是1，不入栈）

（因为从网中删除顶点2和所有以它为起点的有向边）

注：如果此处改为if(!(indegree[v]- -)) 则含义为先判断if，再让indegree[v]-1

更新indegree数组

然后

while (!IsEmpty(S))
{Pop(S, i);print[count++] = i;//输出顶点i
}

弹出0，0入print，count向后

此时栈空

for (p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc) {//将所有i指向的顶点的入度-1，并且将入度为0的顶点压入栈Sv = p->adjvex;if (!(--indegree[v]))push(S, v);//入度为0，则入栈}}

G.vertices[i].firstarc->adjvex找到1
1的入度为1≠0，入度-1，此时1的入度为0，压入栈

继续
1出栈，加入print，count++
找到3，入度-1＝0，3入栈
3出栈，加入print，count++
找到4，入度-1=0，4入栈

while (!IsEmpty(S)){Pop(S, i);//4出栈print[count++] = i;//4加入print，count变为5for (p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc) {v = p->adjvex;if (!(--indegree[v]))push(S, v);}//跳过}//while结束

if (count < G.vexnum)return false;//排序失败，有向图中有回路elsereturn true;//count=5=顶点数，成功

结果

最终代码

#define MaxVertexNum 100//图中顶点数目的最大值
typedef struct ArcNode {//边表结点int adjvex;//该弧所指向的顶点位置struct ArcNode* nextarc;//指向下一条弧的指针//InfoType info;//边的权值
}ArcNode;
typedef struct VNode {//顶点表结点VertexType data;//顶点信息ArcNode* firstarc;//指向第一条依附于该顶点的弧的指针
}VNode,AdjList[MaxVertexNum];
typedef struct {AdjList vertices;//邻接表int vexnum, arcnum;//图的顶点数和弧数
}Graph;//Graph是以邻接表存储图类型bool TopologicalSort(Graph G) {InitStack(S);//初始化栈，存储入度为0的顶点for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)if (indegree[i] == 0)push(S, i);//将所有入度为0的顶点进栈int count = 0;//计数，记录当前已经输出的顶点数while (!IsEmpty(S)){Pop(S, i);print[count++] = i;//输出顶点ifor (p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc) {//将所有i指向的顶点的入度-1，并且将入度为0的顶点压入栈Sv = p->adjvex;if (!(--indegree[v]))push(S, v);//入度为0，则入栈}}if (count < G.vexnum)return false;//排序失败，有向图中有回路elsereturn true;//拓扑排序成功
}

四.时间复杂度
在代码中，每个顶点都需要处理一次，每条边也都需要处理一次，因此对于邻接表的时间复杂度为O(|V|+|E|)
另：邻接矩阵：O(|V|²)

五.逆拓扑排序

改变：从AOV网中选择一个没有后继（出度为0）的顶点并输出

完成

六.逆拓扑排序的实现（DFS算法）
（详情DFS）

第一次走到底，依次访问0134，print4
继续执行3，print3
继续执行1，print1
继续执行0，print0
访问2，print2

完整代码

void DFSTraverse(Graph G) {//对图G进行深度优先遍历for (v = 0; v < G.vexnum; ++v)visited[v] = FALSE;//初始化已访问标记数组for (v = 0; v < G.vexnum; ++v)if (!visited[v])DFS(G, v);
}
void DFS(Graph G, int v) {//从顶点v出发，深度优先遍历图Gvisited[v] = True;//设已访问标记for(w=FirstNeigbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))if (!visited[w]) {//w为u的尚未访问的邻接顶点DFS(G, w);}print(v);
}

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