斐波那契网格采样（在球面上均匀排列许多点）

经纬度网格和斐波那契网格

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1.问题

怎样在球面上「均匀」地排列许多点呢？
这是一个很有实际意义的问题。比如我要测量地球上陆地的总面积。如果能在地球表面均匀地取 n 个点，那么我只要简单地数一下其中落在陆地上的点的个数 m，就可以知道陆地面积约占地球总表面积的 m/n 了。注意，按照一定的经纬度间隔，取经纬线的交点是不行的，因为这样取出的点不均匀：两极附近的点比赤道处更密集，如下图所示。

2.解决方法

要严格解决这个问题，首先要把直观感觉上的「均匀」用数学语言定义出来。一种定义方法是：让各点之间距离的最小值最大。这样定义出来的问题叫 Tammes problem，是密铺问题（Packing problems）的一个特例。很不幸的是，密铺问题往往没有很优雅的解。另一种定义方法是：把各个点看成同种电荷，让整个系统的电势能最小。这个问题可以通过模拟电荷的运动来解决，但计算复杂度非常高，而且只能得到数值解。

经过一番搜索，我在 StackOverflow 上找到了一种令我惊艳的近似解法：Evenly distributing n points on a sphere。这种解法只用几个简单的公式，就给出了每个点的坐标。设球面半径为 1，一共要取 N 个点，则第 n 个点的坐标[公式]由下列公式给出：
其中常数[公式]正是黄金分割比。

用这套公式生成 1000 个点的效果如下，它惊人地符合我们对均匀的预期：

公式 (1~3) 生成的点阵，称为「菲波那契网格」（Fibonacci lattice 或 Fibonacci grid）。至于为什么叫菲波那契网格，目前可以简单地用「黄金分割比也出现在菲波那契数列中」来解释，在下文中你还会见到菲波那契数的出现。这篇文章（Measurement of areas on a sphere using Fibonacci and latitude–longitude lattices）说明，使用菲波那契网格测量球面上不规则图形的面积，与用经纬网格（并加权）相比，误差可以减小 40%。

仔细观察上图中点的分布，可以发现它其实有好几条特点：

    均匀：宏观上看，各处点的密度都差不多；密集：各点之间没有较大的缝隙，以容纳更多的点而不减小点的间距；混乱：点的排列似乎有规律，但具体是什么规律又说不出来。

我们在说「均匀」的时候，其实是暗含了这三条性质的。

公式 (1~3) 对于[公式]的值非常敏感。哪怕[公式]稍微偏离黄金分割比一丁点儿，作出的图效果就不好。例如，下面三个图分别是[公式]取 0.616、0.617 和 0.619 时得到的点阵。可以看到，[公式]时点阵在两极处形成螺旋，在赤道附近形成条纹，不满足「混乱」；而左、右图两中的点不仅形成螺旋或条纹，而且间距还很大，连「密集」都不满足。
　　一个很自然的问题就是：为什么公式 (1~3) 有这么神奇的效果呢？我们先来看看它到底做了什么。

第一条公式[公式]，说明各个点的竖坐标成等差数列。这相当于把球面切成相同厚度的 N 层，并在每一层的厚度中点处的表面上取一个点。注意，各层的厚度相同，但纬度的跨度是不同的：两极处纬度的跨度更大。这样切出来的各层有一个性质：侧面积都相等。这是因为各层的侧面可以近似看成环面，在纬度为[公式]处，环面的半径为[公式]，而环面的宽度为[公式]（思考：为什么要除以[公式]？），故各环面的面积均为[公式]。这个性质保证了点阵分布在宏观上的均匀性：不管在什么纬度，都是每[公式]面积上有一个点。

第二、三条公式[公式]，实际上就是指明了各个点的经度成等差数列。也可以这样形象地理解：从每一个点到下一个点，首先沿着经线向上爬，使得竖坐标增加[公式]；然后沿着纬线转[公式]圈。当然，[公式]比半圈大，只绕[公式]圈也是可以的，如下图所示。这两个值对应的角度分别为 222.5 度和 137.5 度，它们是把 360 度黄金分割后的两部分，称为「黄金角」（Golden angle）。
　　正是[公式]这个常数让产生的点阵具有「密集」和「混乱」两条性质。这是为什么呢？我们观察前文中[公式]时的点阵，它明显形成几乎沿经线方向的条纹，仔细数一下的话，这样的条纹共有 21 条。原来，0.619 十分接近于分数 13/21（注意啦，13 和 21 都是菲波那契数哦），后者的精确值为[公式]。若每产生一个点转 0.619 圈，那么产生 21 个点一共就转过了差不多正好 13 圈。第 n 个点和第 n + 21 个点的经度十分接近，这就是条纹的来源。再看[公式]时的点阵，它形成 13 条螺旋。这是因为[公式]（注意，8 和 13 也是菲波那契数），但误差比 0.619 和 13/21 大一些，所以条纹旋转了起来。从这两个例子我们可以发现，当[公式]接近分数 p/q 时，就会形成 q 条条纹或螺旋。要满足「密集」和「混乱」，就要选取不接近任何有理数的[公式]值。

网上有许多科普资料，说明「黄金分割比是最难用有理数逼近的无理数」，或称「最无理的无理数」，所以黄金角是能使得点阵最密集、最混乱的转角。说明方法一般是把黄金分割比[公式]写成连分式（Continued fraction）：

要用有理数逼近，可以在连分式的任意一层截断，比如舍弃上式中省略号的部分。如果某一层分母的整数部分比较大，那么在这一层舍弃小数部分，误差就比较小。而黄金分割比的连分式中，每一层的分母都是 1，截断误差相对就比较大，故最难用有理数逼近。

但这种解释，我总觉得不够直接。比如，我还想弄清下列问题：

    当连分式中出现较大的项时，点阵会呈现怎样的分布？为什么当[公式]时，点阵在两极和赤道处呈现出不同的有规律分布，而[公式]取黄金分割比时则呈现一片混乱？[公式]真的是最优值吗？我在试探的过程中发现[公式]也不错（见下图对比），它比黄金分割比差在哪里？