下三角矩阵线性方程的求解

【1】下三角矩阵线性方程的求解◀

【2】矩阵的LU分解初步：一个对角线上元素非零的方阵

对于一个下三角矩阵矩阵我们可以非常容易地利用消元的方式求解。

线性方程

$$\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 &. &. &. &0 \\
a_{21} &a_{22} &. &. &. & 0\\
.& .& .& & & .\\
.& .& & .& & .\\
.& .& & & .&. \\
a_{m1}&a_{m2} &a_{m3} &. &. &a_{mm}
\end{bmatrix}\
\begin{bmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}\\
x_{6}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}\\
b_{4}\\
b_{5}\\
b_{6}
\end{bmatrix}$$

我们将其重写为等式

$$
a_{11}x_{1}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\
.\\
.\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mm}x_{m}=b_{m}\\$$

对于第一个等式，我们可以解得$x_{1}=\frac{b_{1}}{a_{11}}$

对于第二个等式，我们有$x_{2}=\frac{b_{2}-a_{21}x_{1}}{a_{22}}，代入x_{1}$可以解得$x_{2}$

对于第三个等式，我们有$x_{3}=\frac{b_{3}-(a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2})}{a_{33}}$，代入$x_{1}$，$x_{2}$可以解得$x_{3}$

如此重复以上，我们可以得到一般的递推解$$x_{m}=\frac{b_{m}-\sum_{i=1}^{m-1}a_{mi}x_{i}}{a_{mm}}$$

利用计算机，我们可以在$O(N^2)$的时间内求解，以下给出其核心程序

        VecX[0] = VecB[0] / MatA[0][0];for (i = 1; i < Row; i++){for (j = 0; j < i; j++)sum += MatA[i][j] * VecX[j];VecX[i] = (VecB[i] - sum) / MatA[i][i];sum = 0;}

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