Kruskal算法

步骤：

第一步：给所有边按照从小到大顺序排列（直接使用库函数qsort / sort）。

第二步：从小到大依次考察每条边（u，v），在执行第二步时会出现以下两种情况：

情况1：u和v在同一连通分量中，加入（u，v）会形成环，因此不能选择。

情况2：u和v在不同的连通分量中，加入（u，v）就一定是最优的。

伪代码：

(1) 把所有的程序排序，记第i小的边为e[i] (1<=i<m)

(2) 初始化MST为空

(3) 初始化连通分量，让每个点自成一个独立的连通分量

for ( int i = 0; i<m; i++)

if(e[i].u和e[i].v不在一个连通分量)

{

把e[i] 加入MST中

合并e[i].u和e[i].v所在的连通分量

}

分析：

该算法关键点在于“连通分量的查询与合并”——需要知道任意两个点是否在同一个连通分量中，还需要合并两个连通分量。

解决方法：

（1）暴力求解法：

（2）使用并查集（Union-Find Set）

代码：（使用并查集方法）

//Kruskal算法
//假设第i条边的两个端点序号和权值分别保存在u[i]，v[i]和w[i]中
//排序后第i小的边的序号保存在r[i]中
int cmp(const int i,const int j)             //间接排序函数
{return w[i]<w[j];
}
int find(int x)                              //并查集的find
{return p[x] == x ? x : p[x] = find(p[x]);//如果 p[x] = x，说明x本身是树根，因此返回x；否则返回p[x]的父节点所在树的树根
}
int Kruskal()
{int ans = 0;for(int i = 0;i < n;i++)//初始化并查集p[i]=i;for(int i = 0;i < m;i++)//初始化边序号r[i]=i;sort(r ,r+m ,cmp);//给边排序for(int i = 0; i<m; i++){int e = r[i]; int x = find(u[e]); //找出当前边两个端点所在的集合编号int y = find(v[e]);if(x !=y)//如果在不同集合合并{ans += w[e];p[x] = y;}}}

并查集：（Union-Find Set）

原理：

使用树来表示集合，树的每个节点就表示集合中的一个元素，树根对应的元素就是该集合的代表元(representative).

特点：

每个连通分量看作是一个集合，该集合包含了连通分量的所有点。这些点两两相通，具体的连接方式无关紧要。

基本操作：

makeSet(s)：建立一个新的并查集，其中包含 s 个单元素集合。
unionSet(x, y)：把元素 x 和元素 y 所在的集合合并，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。
find(x)：找到元素 x 所在的集合的代表元（即父节点），该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以了。

find(x)函数：查找结点x所在树的根节点的递归程序（把x的父节点保存在p[x]中）

int find(int x)
{ p[x] == x ? x : p[x] = find(p[x]);}

如果 p[x] = x，说明x本身是树根，因此返回x；否则返回p[x]的父节点所在树的树根。

特殊情况下：一棵树是一个长长的链，链的最后一个节点为x。

在执行find函数时：每次执行find（x）都会遍历整条链，效率低下。

根据并查集的特点：连通分量中点两两相通，具体的连接方式无关紧要。即树的形态无关紧要。可以做出优化---并查集中的路径压缩

路径压缩：

并查集在每次查找时，令查找路径上的每个节点都直接指向根节点。

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