【量子学习笔记】纯态、混合态、直积态及纠缠态的概念区分及理解

声明：以下所有内容仅代表个人观点和理解，作为学习笔记便于自行查阅理解使用。

一、纯态与混合态 [ 1 ] ^{[1]} [1]

（一）纯态（Pure state）

纯态：量子系统的量子态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩ 是一个确定的态。
密度矩阵表示： ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ . \rho = |\psi\rangle\langle\psi|. ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣.
t r ( ρ 2 ) = 1. tr(\rho^2) = 1. tr(ρ2)=1.

（二）混合态（Mixed state）

混合态：量子系统可能以一定概率 p 1 p_1 p1 处于量子态 ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_1\rangle ∣ψ1⟩，以一定概率 p 2 p_2 p2 处于量子态 ∣ ψ 2 ⟩ |\psi_2\rangle ∣ψ2⟩，…，以 p n p_n pn 的概率处于量子态 ∣ ψ n ⟩ |\psi_n\rangle ∣ψn⟩。因此我们可以从统计的角度将混合态看作是不同纯态的概率分布，对相同的混合态进行统计，这个混合态应当分别以 p 1 , p 2 , … , p n p_1, p_2, \ldots, p_n p1,p2,…,pn 的概率处于量子态 ∣ ψ 1 ⟩ , ∣ ψ 2 ⟩ , … , ∣ ψ n ⟩ |\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle, \ldots, |\psi_n\rangle ∣ψ1⟩,∣ψ2⟩,…,∣ψn⟩。
密度矩阵表示： ρ = ∑ i p i ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ . \rho = \sum\limits_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|. ρ=i∑pi∣ψi⟩⟨ψi∣.
t r ( ρ 2 ) < 1. tr(\rho^2) < 1. tr(ρ2)<1.

通常我们可以通过计算 t r ( ρ 2 ) tr(\rho^2) tr(ρ2) 来判断一个量子系统是处于纯态还是混合态。

二、直积态

三、纠缠态（Entangled state）

如果一个量子系统不能写成若干个单量子比特系统的直积态表示，则认为该量子系统处于纠缠态 [ 2 ] ^{[2]} [2]。常见的两粒子纠缠态是如下的四种贝尔态（Bell state）。
∣ Φ + ⟩ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 , ∣ Φ − ⟩ = ∣ 00 ⟩ − ∣ 11 ⟩ 2 , ∣ Ψ + ⟩ = ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ 2 , ∣ Ψ − ⟩ = ∣ 01 ⟩ − ∣ 10 ⟩ 2 . \begin{aligned} |\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt2},\\ |\Phi^-\rangle = \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt2},\\ |\Psi^+\rangle = \frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt2},\\ |\Psi^-\rangle = \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt2}. \end{aligned} ∣Φ+⟩=2 ∣00⟩+∣11⟩,∣Φ−⟩=2 ∣00⟩−∣11⟩,∣Ψ+⟩=2 ∣01⟩+∣10⟩,∣Ψ−⟩=2 ∣01⟩−∣10⟩.
不难发现，以上四种量子态均不能写作 ∣ ϕ ⟩ = ( α ∣ 0 ⟩ + β ∣ 1 ⟩ ) ⊗ ( γ ∣ 0 ⟩ + δ ∣ 1 ⟩ ) |\phi\rangle = (\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle)\otimes(\gamma|0\rangle + \delta|1\rangle) ∣ϕ⟩=(α∣0⟩+β∣1⟩)⊗(γ∣0⟩+δ∣1⟩) 的直积态形式 [ 3 ] ^{[3]} [3]。

实际上，这四种贝尔态均为纯态，我们可以通过计算 t r ( ρ 2 ) tr(\rho^2) tr(ρ2) 来验证这一点，从而加深我们对上述内容的理解。其详细计算过程如下：

首先分别计算这 4 种贝尔态的密度矩阵 ρ \rho ρ，不妨设上述 4 种贝尔态的密度矩阵分别为 ρ 0 , ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 \rho_0, \rho_1, \rho_2, \rho_3 ρ0,ρ1,ρ2,ρ3，则
ρ 0 = ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 00 ∣ + ∣ ⟨ 11 ∣ 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 = 1 2 ( 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ) , ρ 1 = ∣ Φ − ⟩ ⟨ Φ − ∣ = ∣ 00 ⟩ − ∣ 11 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 00 ∣ − ∣ ⟨ 11 ∣ 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ − ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 = 1 2 ( 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 ) , ρ 2 = ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ = ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 01 ∣ + ∣ ⟨ 10 ∣ 2 = ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 = 1 2 ( 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ) , ρ 3 = ∣ Ψ − ⟩ ⟨ Ψ − ∣ = ∣ 01 ⟩ − ∣ 10 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 01 ∣ − ∣ ⟨ 10 ∣ 2 = ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ − ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ − ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 = 1 2 ( 0 0 0 0 0 1 − 1 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 ) . \begin{aligned} \rho_0 = |\Phi^+\rangle \langle\Phi^+| &= \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle00| + |\langle11|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\\\\ \rho_1 = |\Phi^-\rangle \langle\Phi^-| &= \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle00| - |\langle11|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|00\rangle\langle00| - |00\rangle\langle11| - |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\\\\ \rho_2 = |\Psi^+\rangle \langle\Psi^+| &= \frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle01| + |\langle10|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|01\rangle\langle01| + |01\rangle\langle10| + |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\\\\ \rho_3 = |\Psi^-\rangle \langle\Psi^-| &= \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle01| - |\langle10|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|01\rangle\langle01| - |01\rangle\langle10| - |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned} ρ0=∣Φ+⟩⟨Φ+∣ρ1=∣Φ−⟩⟨Φ−∣ρ2=∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣ρ3=∣Ψ−⟩⟨Ψ−∣=2 ∣00⟩+∣11⟩⋅2 ⟨00∣+∣⟨11∣=2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣=21⎝⎜⎜⎛1001000000001001⎠⎟⎟⎞,=2 ∣00⟩−∣11⟩⋅2 ⟨00∣−∣⟨11∣=2∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣=21⎝⎜⎜⎛100−100000000−1001⎠⎟⎟⎞,=2 ∣01⟩+∣10⟩⋅2 ⟨01∣+∣⟨10∣=2∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣=21⎝⎜⎜⎛0000011001100000⎠⎟⎟⎞,=2 ∣01⟩−∣10⟩⋅2 ⟨01∣−∣⟨10∣=2∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣=21⎝⎜⎜⎛000001−100−1100000⎠⎟⎟⎞.
依次计算 ρ 0 2 , ρ 1 2 , ρ 2 2 , ρ 3 2 \rho_0^2, \rho_1^2, \rho_2^2, \rho_3^2 ρ02,ρ12,ρ22,ρ32 如下：
ρ 0 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 ⋅ ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 = 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) 4 = 1 2 ( 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ) , ρ 1 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ − ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 ⋅ ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ − ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 = 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) 4 = 1 2 ( 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 ) , ρ 2 2 = ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 ⋅ ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 = 2 ( ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ ) 4 = 1 2 ( 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ) , ρ 2 2 = ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ − ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ − ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 ⋅ ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ − ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ − ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 = 2 ( ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ − ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ − ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ ) 4 = 1 2 ( 0 0 0 0 0 1 − 1 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 ) . \begin{aligned} \rho_0^2 &= \frac{|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2} \cdot \frac{|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2}\\ &= \frac{2(|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|)}{4} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\\\\ \rho_1^2 &= \frac{|00\rangle\langle00| - |00\rangle\langle11| - |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2} \cdot \frac{|00\rangle\langle00| - |00\rangle\langle11| - |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2}\\ &= \frac{2(|00\rangle\langle00| - |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| - |11\rangle\langle11|)}{4} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\\\\ \rho_2^2 &= \frac{|01\rangle\langle01| + |01\rangle\langle10| + |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2} \cdot \frac{|01\rangle\langle01| + |01\rangle\langle10| + |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2}\\ &= \frac{2(|01\rangle\langle01| + |01\rangle\langle10| + |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|)}{4} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\\\\ \rho_2^2 &= \frac{|01\rangle\langle01| - |01\rangle\langle10| - |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2} \cdot \frac{|01\rangle\langle01| - |01\rangle\langle10| - |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2}\\ &= \frac{2(|01\rangle\langle01| - |01\rangle\langle10| - |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|)}{4} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned} ρ02ρ12ρ22ρ22=2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣⋅2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣=42(∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣)=21⎝⎜⎜⎛1001000000001001⎠⎟⎟⎞,=2∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣⋅2∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣=42(∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣−∣11⟩⟨11∣)=21⎝⎜⎜⎛100−100000000−1001⎠⎟⎟⎞,=2∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣⋅2∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣=42(∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣)=21⎝⎜⎜⎛0000011001100000⎠⎟⎟⎞,=2∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣⋅2∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣=42(∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣)=21⎝⎜⎜⎛000001−100−1100000⎠⎟⎟⎞.
计算 t r ( ρ 2 ) tr(\rho^2) tr(ρ2)：易知， t r ( ρ 0 2 ) = t r ( ρ 1 2 ) = t r ( ρ 2 2 ) = t r ( ρ 3 2 ) = 1. tr(\rho_0^2) = tr(\rho_1^2) = tr(\rho_2^2) = tr(\rho_3^2) = 1. tr(ρ02)=tr(ρ12)=tr(ρ22)=tr(ρ32)=1.

由此可见，两量子比特系统中的四种贝尔态均为纯态。

注意：虽然处于贝尔态的两量子比特系统 A B AB AB 整体呈现为纯态，但若只关注该系统中的其中单量子比特系统 A A A，则该系统处于混态。我们不妨以 ∣ Φ + ⟩ |\Phi^+\rangle ∣Φ+⟩ 为例，通过计算偏迹（partial trace）来验证这一点：
ρ A B = ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 00 ∣ + ∣ ⟨ 11 ∣ 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 , ρ A = t r B ( ρ A B ) = t r 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ ) + t r 2 ( ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ ) + t r 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) + t r 2 ( ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) 2 = ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ ⟨ 0 ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 0 ∣ ⟨ 0 ∣ 1 ⟩ + ∣ 0 ⟩ ⟨ 1 ∣ ⟨ 1 ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ ⟨ 1 ∣ 1 ⟩ 2 = ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ 2 = I 2 . \begin{aligned} \rho^{AB} = |\Phi^+\rangle \langle\Phi^+| &= \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle00| + |\langle11|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2},\\ \rho^A = tr_B(\rho^{AB}) &= \frac{tr_{2}(|00\rangle\langle 00|)+tr_{2}(|11\rangle\langle 00|)+tr_{2}(|00\rangle\langle 11|)+tr_{2}(|11\rangle\langle 11|)}{2} \\ &=\frac{|0\rangle\langle 0|\langle 0 | 0\rangle+| 1\rangle\langle 0|\langle 0 | 1\rangle+| 0\rangle\langle 1|\langle 1 | 0\rangle+| 1\rangle\langle 1|\langle 1 | 1\rangle}{2} \\ &=\frac{|0\rangle\langle 0|+| 1\rangle\langle 1|}{2} \\ &=\frac{I}{2} . \end{aligned} ρAB=∣Φ+⟩⟨Φ+∣ρA=trB(ρAB)=2 ∣00⟩+∣11⟩⋅2 ⟨00∣+∣⟨11∣=2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣,=2tr2(∣00⟩⟨00∣)+tr2(∣11⟩⟨00∣)+tr2(∣00⟩⟨11∣)+tr2(∣11⟩⟨11∣)=2∣0⟩⟨0∣⟨0∣0⟩+∣1⟩⟨0∣⟨0∣1⟩+∣0⟩⟨1∣⟨1∣0⟩+∣1⟩⟨1∣⟨1∣1⟩=2∣0⟩⟨0∣+∣1⟩⟨1∣=2I.
很明显， t r ( ( I 2 ) 2 ) = 1 2 < 1 tr((\frac{I}{2})^2) = \frac{1}{2} < 1 tr((2I)2)=21<1，因此量子系统 A A A 处于混态。

四、亲手来造一个混合态（两种贝尔态的混合）！

前文我们提及可以将混合态看作是多个不同纯态分别以不同概率混合在一起的结果，因此我们是否可以制造一种处于混合态的纠缠态来帮助我们更好地理解这个概念？就以前文提到的贝尔态为例，直接将 ∣ Φ + ⟩ |\Phi^+\rangle ∣Φ+⟩ 和 ∣ Φ − ⟩ |\Phi^-\rangle ∣Φ−⟩、 ∣ Ψ + ⟩ |\Psi^+\rangle ∣Ψ+⟩ 和 ∣ Ψ − ⟩ |\Psi^-\rangle ∣Ψ−⟩ 混合在一起显然不是一个聪明的选择（其正负项会出现相消），我们不妨考虑一个以 1 2 \frac{1}{2} 21 的概率处于 ∣ Φ + ⟩ |\Phi^+\rangle ∣Φ+⟩ 态，而以 1 2 \frac{1}{2} 21 的概率处于 ∣ Ψ + ⟩ |\Psi^+\rangle ∣Ψ+⟩ 态的量子态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩。

由此，我们可以写出其密度矩阵表示如下：
ρ = 1 2 ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ ) = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 4 = 1 4 ( 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 ) . \begin{aligned} \rho &= \frac{1}{2}(|\Phi^+\rangle \langle\Phi^+| + |\Psi^+\rangle \langle\Psi^+|)\\ &= \frac{|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |01\rangle\langle01| + |01\rangle\langle10| + |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{4}\\ &= \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned} ρ=21(∣Φ+⟩⟨Φ+∣+∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣)=4∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣=41⎝⎜⎜⎛1001011001101001⎠⎟⎟⎞.

接下来，我们就借助甄别纯态和混合态的神器 t r ( ρ 2 ) tr(\rho^2) tr(ρ2) 来判断一下这个纠缠态到底是不是我们想象中的混合态。

ρ 2 = 1 4 ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ ) 2 = 1 4 ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ ) = 1 8 ( 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 ) . \begin{aligned} \rho^2 &= \frac{1}{4}(|\Phi^+\rangle \langle\Phi^+| + |\Psi^+\rangle \langle\Psi^+|)^2\\ &= \frac{1}{4}(|\Phi^+\rangle \langle\Phi^+| + |\Psi^+\rangle \langle\Psi^+|)\\ &= \frac{1}{8}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned} ρ2=41(∣Φ+⟩⟨Φ+∣+∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣)2=41(∣Φ+⟩⟨Φ+∣+∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣)=81⎝⎜⎜⎛1001011001101001⎠⎟⎟⎞.
不难发现，此时 t r ( ρ 2 ) = 1 2 < 1 tr(\rho^2) = \frac{1}{2} < 1 tr(ρ2)=21<1，因此该纠缠态是一个混合态，它分别以 1 2 , 1 2 \frac{1}{2}, \frac{1}{2} 21,21 的概率处于 ∣ Φ + ⟩ |\Phi^+\rangle ∣Φ+⟩ 态和 ∣ Ψ + ⟩ |\Psi^+\rangle ∣Ψ+⟩ 态这两个纯态系统。

References

[1] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, 2012).
[2] 量易简-量子纠缠与贝尔不等式.
[3] 量子态和密度矩阵，迹和偏迹的数学表示.