1. 计算机中整数的表示

2. 计算机中整数的四则运算

1. 计算机中整数的表示

计算机只认识0和1，因此任何数都需要表示成二进制的形式。计算机系统规定，最高位用于表示整数的符号位，0表示正数，1表示负数，这是为了方便高级语言标识有符号数和无符号数。在处理器指令层面，指令在计算时不区分整数是否是有符号，还是无符号，统一按有符号数处理，至于应当明符号，还是无符号，由程序员去决定(你认为这是有符号数，就当成有符号数去解析，你认为是无符号数，就当成无符号数去解析)。

数的运算包括加减乘除，人类首先发明的是加法器，因此，加法问题最为简单，首先得到解决；乘法问题可以看成是数的累加，即移位，逻辑判断，累加结合，则解决了加法问题，乘法问题很容易解决。除法问题可以看成是减法的移位，逻辑判断，累减，所以核问题是解决整数的减法问题。因为减去一个数，可以看成是加上一个我负数，因此，核心问题就成了如何表示这个负数。

如果一个正数，和一个与它绝对值相同的负数，这两个数各自在计算器中的表示，通过逻辑电路的加法运算法则，恰好产生了溢出，从而其有效位全部是0，则这两个数互为对方的某种形式，则减法问题得到解决。

为了便于描述，我们先提出原码：某个整数，其绝对值的二进制表示形式。注意，原码是描述补码的基础，计算机中的整数不是用原码表示，为了统一，我们说计算机中的数是用补码表示。

因为找到一个数与其相反数相加为0，直接操作并不容易，要产生进位，计算电路的设计更为复杂，而且没有办法通用一套电路。于是，找到一个数与其相加等于1(如果是一个字节，则为11111111，我们以这个为例)，再在这个数基础上加1，产生溢出，则结果就为0了。而找到相加等于1的值，很容易，在原码的基础上按位取反即可，即反码。

取得了反码，在这个基础上加1，正好产生溢出为0，这就满足了我们转换减法为加法的目的，在电路实现上，用一套电路即可，计算时，统统当成有符号数进行运算。以-1为例，我们考虑一个字节的运算：

原码形式：00000001

反码形式(按位取反)：11111110 (与原码相加正好为11111111)

补码形式(补码加1)： 11111110 + 00000001 = 11111111(0xFF)

因为我们以正整数为基础进行的补码运算，而为了统一称乎，我们称计算机中的整数为用补码表示。因此，正整数的补码就是其本身，正数不需要转换，只需要转换负数。而负数只需要按照这种规则进行转码，就能与其对应的正整数通过电路的逻辑相加运算结果为0，完美地解决了转减法为加法的问题，并统一使用一套电路。转换编码的时候不考虑符号，因为负数补码的概念已经将符号编码在其中了，因为它与对应的正数相加恰好为0。比如，我们计算1-3=1+(-3)：

1的补码表示：00000001

-3的补码形式：求原码00000011，求反码11111100，求补码11111101

1-3=1+(-3) = 00000001+11111101=11111110(-2)

因此，计算机中的计算结果值就是11111110，对于这个结果值，你要把它解析成正数还是负数，那就是程序员的责任了，比如，在使用C++编程时，你将它转换成有符号数int,因为最高位是负号，意味着这是负数，这个编码值应当看成是负数的补码表示，在显示时，应当转换为对应的原码值加上符号，这个工作由C++编译器替程序员完成了，这时候我们在调试时显示的值是-2，但是我们显示时内存值是11111110。注意，计算机加减运算时不区分有符号还是无符号，最高位也是当成整值参与计算。

2. 计算机中整数的四则运算

当我们在编程进行四则运算的时候，我们应当遵循数据类型一致的原则，因为你用一个int变量与一个unsigned int变量相加，计算机也会给你内部转换成一致类型再进行运算，而且写出这样的表示也没有意义。下面举几个例子，看看编译器是如何隐式处理的。以VS2022编译环境为例，编写X64代码。

示例1：1字节有符号数加法运算

void Test()

{

signed char a = 1;

signed char b = -3;

signed char total = (signed char)(a + b);

}

查看反汇编译代码：

void Test()

{

00007FF6FCC12220 sub rsp,18h

signed char a = 1;

00007FF6FCC12224 mov byte ptr [rsp],1

signed char b = -3;

00007FF6FCC12228 mov byte ptr [b],0FDh

signed char total = (signed char)(a + b);

00007FF6FCC1222D movsx eax,byte ptr [rsp]

00007FF6FCC12231 movsx ecx,byte ptr [b]

00007FF6FCC12236 add eax,ecx

00007FF6FCC12238 mov byte ptr [total],al

}

00007FF6FCC12228 mov byte ptr [b],0FDh

这一句，-3被转换成了补码形式0FDh(前缀0，后缀h表示数的十六进制表示)。

00007FF6FCC1222D movsx eax,byte ptr [rsp]

00007FF6FCC12231 movsx ecx,byte ptr [b]

这两句，编译器将以字节表示的数符号扩展到32位，这是编译器作的优化，这样计算效率高。

00007FF6FCC12236 add eax,ecx

这是汇编语言加法指令，运算时按逻辑加运算，不管什么符号位。

00007FF6FCC12238 mov byte ptr [total],al

这一句是我们使用的强制转换方法。

这个例子可以看出两点：编译器在计算字节数据类型时，会将其转换成32位的整数再进行运算；运算指令不管符号位，把符号位也当成正常数据参与运算，符号只体现在编码中，负数已经表示成了补码形式，而高级语言在声明有符号无符号时，实际上是告诉编译器，应当将数据按何种形式进行编码。

示例2：1字节有符号数和4字节有符号数加法运算

void Test()

{

signed char a = 1;

int b = -3;

auto total = a + b;

}

查看反汇编译代码：

void Test()

{

00007FF7DC942220 sub rsp,18h

signed char a = 1;

00007FF7DC942224 mov byte ptr [rsp],1

int b = -3;

00007FF7DC942228 mov dword ptr [b],0FFFFFFFDh

auto total = a + b;

00007FF7DC942230 movsx eax,byte ptr [rsp]

00007FF7DC942234 add eax,dword ptr [b]

00007FF7DC942238 mov dword ptr [total],eax

}

00007FF7DC942230 movsx eax,byte ptr [rsp]

编译器将以字节表示的数符号扩展到32位。

这个例子可以看出一点：两个类型大小不一的整数相加，编译器会先将字节小的数作符号扩展成与类型大的数的类型一致，再参与运算。

示例3：有符号数与无符号数混全加法运算

void Test()

{

unsigned int a = 1;

int b = -3;

auto total = a + b;

}

查看反汇编译代码：

void Test()

{

00007FF62B5F2220 sub rsp,18h

unsigned int a = 1;

00007FF62B5F2224 mov dword ptr [a],1

int b = -3;

00007FF62B5F222C mov dword ptr [rsp],0FFFFFFFDh

auto total = a + b;

00007FF62B5F2233 mov eax,dword ptr [rsp]

00007FF62B5F2236 mov ecx,dword ptr [a]

00007FF62B5F223A add ecx,eax

00007FF62B5F223C mov eax,ecx

00007FF62B5F223E mov dword ptr [total],eax

}

这个例子可以看出一点：编译器不管啥有符号无符号，你标识为有符号，如果输入的是负值，会把它转换为负数的被码形式，再参与运算，至于计算结果正确与否，那是程序员去判断的事。不同的编译器可能对计算值处理不一样，VS2022会将其默认为和为unsigned int型，如果值为负数，则明显结果错误，因此，何必要写这种代码去考验编译器呢？

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