矩阵

1.冒号表达式

2.矩阵元素的引用

3.矩阵的运算

3.1算术运算

3.2逻辑运算

4.特殊矩阵

5.矩阵变换

5.1对角阵

5.2三角阵

5.3矩阵旋转

5.4稀疏矩阵

6.矩阵求值

1.冒号表达式

e1:e2:e3 省略步长e2,则步长为1

linspace(a,b,n) 当n省略时，自动产生100个元素

a:第一个元素

b:最后元素

n：元素总数

2.矩阵元素的引用

在MATLAB中，矩阵元素按列存储，即首先储存矩阵的第一列元素，然后存储第二列……一直到矩阵的最后一列元素。矩阵元素的序号就是矩阵元素在内存中的排列顺序。

例：

子矩阵：

A(i,:) 第i行的全部元素

A(;,j) 第j列的全部元素

A(i:i+m,k:k+m) 第i~i+m行内且在第k~k+m列中的所有元素

A(i:i+m,:) 第i~i+m行的全部元素

空矩阵是指没有任何元素的矩阵：x=[]

改变矩阵的形状：

reshape(A,m,n):在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m X n的二维矩阵。

A(:) 将矩阵A的每一列堆叠起来，成为一个列向量。

3.矩阵的运算

3.1算术运算

	转置	加	减	乘	右除	左除	幂
矩阵运算符	A’	+	-	*	/		^
标量运算符	A.’	+	-	.*	./	.	.^

矩阵除法运算有两种，右除/和左除

如果A矩阵是非奇异方阵，则B/A等效于B*in(A),AB等效于inv(A)*B

乘方运算：A^x，要求A为方针，x为标量

3.2逻辑运算

关系运算符	<	<=	>	>=	==	~=
字母算符	lt	le	gt	ge	eq	ne

逻辑运算符	&	\|	~	xor
字母算符	and	or	not	xor

4.特殊矩阵

zeros(m):产生m*m零矩阵

zeros(m,n):产生m*n零矩阵

zeros(size(A)):产生于矩阵A同样大小的零矩阵

magic(n):产生n阶魔方阵，其每行每列以及主副对角线上各n个元素之和都相等

vander(v):生成以向量v为基础的范德蒙矩阵

hilb(n):生成n阶希尔伯特矩阵

compan(p):生成伴随矩阵，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂系数排在后

pascal(n):生成一个n阶帕斯卡矩阵

5.矩阵变换

5.1对角阵

对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵

数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵

单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵

diag(v):以向量v为主对角线元素，产生对角矩阵

diag(v,k)以向量v为第k条对角线元素，产生对角矩阵

5.2三角阵

上三角矩阵

triu(A):提取矩阵A的主对角线及以上的元素。

triu(A,k):提取矩阵A的第k条主对角线及以上的元素。

下三角矩阵

tril(A):提取矩阵A的主对角线及以下的元素。

tril(A,k):提取矩阵A的第k条主对角线及以下的元素。

5.3矩阵旋转

rot90(A,k):将矩阵A逆时针方向旋转 $90^{circ}$ 的k倍，当k为1时可省略。

5.4稀疏矩阵

完全存储方式：将矩阵的全部元素按列存储

稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号

A=sparse(S):将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A

S=full(A):将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S

sparse(m,n):生成一个mxn的所有元素都是0的稀疏矩阵。

sparse(u,v,s):其中u,v,S是3个等长的向量，S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i),v(i)分别是S(i)的行和列下标

[B,d]=spdiags(A):从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d.

speye(m,n);返回一个m*n的稀疏存储单位矩阵。

6.矩阵求值

det(A):方阵A所对应的行列式的值

inv(A):求矩阵的逆

rank(A):求矩阵的秩

trace(A):求矩阵的迹

矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度

norm(v)或norm(v,2):计算向量v的2—范数

norm(v,1):计算向量v的1—范数

norm(v,inf):计算向量v的 $propto$ —范数

矩阵的条件数等于A的范数于A的逆矩阵的范数的乘积。

cond(A,1):计算A的1——范数下的条件数。

cond(A)或cond(A,2):计算A的2——范数下的条件数。

cond(A,1):计算A的 $propto$ ——范数下的条件数。

求矩阵的特征值和特征向量

E=eig(A):求矩阵A的全部特征值，构成向量E。

[X,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X,X各列是相应的特征向量。

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