普利姆（Prim）算法是以某个顶点为起点，逐步寻找各个顶点上权值最小的边来构建生成树。
文章指引：图—普里姆（Prim）算法（原理和C程序解释）
而克鲁斯卡尔（Kruskal）算法是以边为目标，直接寻找权值最小的边来构建生成树，并在构建中不形成回路。

一、定义

假设N = (V, {E})是一个连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T = {V, {}}，图中每个顶点自成一个连通分量。
在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

二、实现思路

下图是一个连通网，我们以此来介绍普利姆算法的实现过程。

（1）首先设立最小生成树的初始状态T = {V, {}}，只有顶点，没有边，寻找权值最小的边，显然是(v1,v5)(v_1,v_5)(v1,v5)最小。

注：红色边为最小生成树的边，黑色线为连通网的边。

（2）然后(v1,v7)(v_1,v_7)(v1,v7)边权值最小

（3）此时有两条边的权值均为8，这里先取(v0,v1)(v_0,v_1)(v0,v1)边

（4）添加(v4,v5)(v_4,v_5)(v4,v5)边

（5）添加(v3,v7)(v_3,v_7)(v3,v7)边

（6）因为(v2,v3)(v_2,v_3)(v2,v3)边的两个顶点在同一连通分量中，如果添加此边，则会形成回路，所以添加(v0,v5)(v_0,v_5)(v0,v5)边

（7）添加(v4,v6)(v_4,v_6)(v4,v6)边

（8）添加(v5,v8)(v_5,v_8)(v5,v8)边

此时所有顶点都在同一连通分量上，红色边所有顶点构造的树即为最小生成树。

三、程序解析

1. 临接矩阵转换为边集数组

（1）因为无向图的邻接矩阵是对称矩阵，那么边集数组只需要统计矩阵的右上半即可。edge[]用于存储图的每一条边。

（2）对边安装权值排序，由大到小，这里使用比较简单的冒泡排序法。

//邻接矩阵转边集数组，按照权值排序，由小到大
void MGraph2EdgeArr(MGraph G, Edge* edge)
{int i, j, k=0;Edge temp;//将边数据填入edge中for (i = 0; i < G.numVertexes; i++){for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++){if (G.arc[i][j] != INFINITY)    //有边{edge[k].begin = i;edge[k].end = j;edge[k].weight = G.arc[i][j];k++;}}}//冒泡排序for (i = 0; i < k; i++){for (j = i+1; j < k; j++){if (edge[j].weight < edge[i].weight){temp = edge[i];edge[i] = edge[j];edge[j] = temp;}}}
}

2. 克鲁斯卡尔算法程序

（1）parent数组：将同一连通分量的顶点串起来，下标为edge.begin，即各边的尾顶点下标，parent存储的值是边的头顶点下标，如果某一个顶点是两个边的尾，则在上一个边的头顶点位置存储下一个边的头顶点下标。

比如最小生成树依次添加了(v1,v2)(v_1,v_2)(v1,v2)，(v1,v7)(v_1,v_7)(v1,v7)，(v0,v1)(v_0,v_1)(v0,v1)，此时parent发生如下变化：

在添加(v1,v7)(v_1,v_7)(v1,v7)关系时，因为parent[1]=2parent[1] = 2parent[1]=2，parent[2]=0parent[2] = 0parent[2]=0，因此使parent[2]=7parent[2] = 7parent[2]=7。

如何判断两个顶点是否在同一连通分量呢？

可以根据parent观察，因为parent[0]=7,parent[7]=0parent[0] = 7,\ parent[7] = 0parent[0]=7, parent[7]=0，所以v0,v7v_0, v_7v0,v7在同一分量中，取名为连通分量A；因为parent[1]=2,parent[2]=7parent[1] = 2, \ parent[2] = 7parent[1]=2, parent[2]=7，所以v1,v2,v7v_1, v_2, v_7v1,v2,v7，它们均在连通分量A中。

我们只需要判断连线顶点的结尾顶点是否相同，如v1,v2v_1,v_2v1,v2连线均以v7v_7v7为结尾。

（2）按照权值从小到大遍历所有边，Find函数查找边的两端顶点所在的连通分量的结尾顶点，如果不同，则认为可以将此边添加到最小生成树中，不存在回路，打印该边信息。更新parent信息，将两个顶点所在的连通分量连接起来。

typedef struct // 边集结构
{int begin;int end;int weight;
}Edge;
#define MAXEDGE (15) //最大边数void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{int i, n, m;Edge edges[MAXEDGE]; //定义边集数组int parent[MAXEDGE]; //定义一数组用来判断边与边是否形成环路MGraph2EdgeArr(G, edges); //将邻接矩阵转换为边集数组for (i = 0; i < G.numEdges; i++){parent[i] = 0; //初始化数组值为0}for (i = 0; i < G.numEdges; i++){n = Find(parent, edges[i].begin);m = Find(parent, edges[i].end);if (n != m) //判断edges[i].begin和edges[i].end是否在同一连通分量中{parent[n] = m; //将edges[i].begin与edges[i].end连线printf(" (%d, %d) %d ", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);}}
}/* 查找连线顶点的尾部下标 */
int Find(int* parent, int f)
{while (parent[f] > 0){f = parent[f];}return f;
}

3. 测试

#include "CreateGraph.h"
#include "kruskal.h"int main()
{MGraph G;CreateMgraph(&G);MiniSpanTree_Kruskal(G);return 0;
}

打印输出：

四、总结

因为Find函数的时间复杂度为O(loge)O(loge)O(loge)，e为连通网的边数，且for循环e次，则卡鲁斯卡尔的时间复杂度为O(eloge)O(eloge)O(eloge)。该算法主要针对边来展开，因此对于边数少的连通网来说，效率比较高。

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