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一、前缀和

1.1什么是前缀和

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。常常用于一些题目的优化，其实前缀和是一种思想，主要是维护离线区间信息的一种优化手段

最简单的一道题就是给定 n 个数和 m 次询问，每次询问一段区间的和。求一个 O(n + m) 的做法。

1.2一维前缀和

1.2.1问题引出

例题：http://acm.mangata.ltd/p/P1501

1.2.2思路

对于一维前缀和我们在输入数据的时候就能进行处理，假设前缀和数组是pre，那么我们的pre[i] = pre[i-1]+a[i]，这样就维护了一个前缀，注意的是这里的i从1开始遍历

代码示例：

for(int i = 1;i <= n; ++i) {cin>>a[i];pre[i] = pre[i-1] + a[i];
}

这样我们就得到了一维前缀和的一个数组，那么这个数组可以干什么事呢？首先我们能在O(1)O(1)O(1)的时间复杂度内求出任一一个区间的和例如我们要求[L,R][L,R][L,R]区间和，即pre[R]-pre[L-1]，

1.3一维前缀积

1.3.1问题引出

例题：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/19483/A

1.3.2思路

由于有前缀和这种操作，我能能意识到这是一种思想，顺着这个思想我们能想到前缀积这个操作，和前缀和相似我们通过对pre数组进行乘法更新然后不断取模就能得到一个前缀积，如果我们想获得[L,R][L,R][L,R]的区间积那么需要用到逆元的操作即ans=pre[R]×inv(pre[L−1])ans = pre[R] \times inv(pre[L-1])ans=pre[R]×inv(pre[L−1])

代码示例：

pre[0] = 1;//否则全都变成0了
for(int i = 1;i <= n; ++i) {cin>>a[i];pre[i] = pre[i-1] * a[i] % mod;
}
求[L,R]区间内前缀积
ans = pre[R] * inv(pre[L-1]);

1.4 一维前缀异或

和上面类似，只不过维护的是异或和

1.5二维前缀和

1.5.1问题引出

例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P2004

1.5.2思路

对于二维前缀和同理，我们从维护线前缀和变成了矩阵前缀和，换句话说就是从维护一维前缀和变成了维护二维前缀和。我们此时的pre[i][j]表示的含义就是从左上角[1][1]到右下角[i][j]这个矩阵的一个和，因此我们能写出这样一个维护代码pre[i][j]=pre[i−1][j]+pre[i][j−1]−pre[i−1][j−1]+a[i][j]pre[i][j]=pre[i-1][j] + pre[i][j-1] - pre[i-1][j-1] + a[i][j]pre[i][j]=pre[i−1][j]+pre[i][j−1]−pre[i−1][j−1]+a[i][j]，这个也是很好理解的，现在我们如果要求一个左上角为x1,y1x_1,y1x1,y1，右下角为x2,y2x_2,y_2x2,y2的矩阵和就可以这样写：ans=pre[x2][y2]−pre[x2][y1−1]−pre[x1][y2−1]+pre[x1−1][y1−1]ans=pre[x2][y2]-pre[x2][y1-1]-pre[x1][y2-1]+pre[x1-1][y1-1]ans=pre[x2][y2]−pre[x2][y1−1]−pre[x1][y2−1]+pre[x1−1][y1−1]

我们可以来看这样一张图：

对于粉色部分就是我们想要求得的矩阵范围，对于黄色，和棕色部分就是我们多余的范围，需要减去，但是在减的过程中会遇到减的区间重复的情况，所以我们需要加上pre[x1−1][y1−1]pre[x1-1][y1-1]pre[x1−1][y1−1]的操作

代码实现：

for(int i = 1;i <= n; ++i) {for(int j = 1;j <= m; ++j) {cin>>a[i][j];pre[i][j] = pre[i-1][j] + pre[i][j-1] - pre[i-1][j-1] + a[i][j];}
}
ans=pre[x2][y2]-pre[x2][y1-1]-pre[x1-1][y2]+pre[x1-1][y1-1];

1.5优缺点

优点很显然，就是能快速求出区间或者矩阵的一些信息例如和、积、异或等

缺点也很显然，就是不能在线操作，只能离线处理，遇到一个动态变化的就不能使用前缀和操作。

二、差分数组

2.1定义

对于已知有n个元素的离线数列d，我们可以建立记录它每项与前一项差值的差分数组fff：显然，f[1]=d[1]−0=d[1];f[1]=d[1]-0=d[1];f[1]=d[1]−0=d[1];对于整数i∈[2,n]i∈[2,n]i∈[2,n]，我们让f[i]=d[i]−d[i−1]f[i]=d[i]-d[i-1]f[i]=d[i]−d[i−1]。

2.2性质

计算数列各项的值：观察d[2]=f[1]+f[2]=d[1]+d[2]−d[1]=d[2]d[2]=f[1]+f[2]=d[1]+d[2]-d[1]=d[2]d[2]=f[1]+f[2]=d[1]+d[2]−d[1]=d[2]可知，数列第iii项的值是可以用差分数组的前iii项的和计算的，即d[i]=f[i]d[i]=f[i]d[i]=f[i]的前缀和。
第iii项的前缀和即为数列前iii项的和

通过以上两点性质我们能在O(N)O(N)O(N)的时间复杂度内求出区间和以及每个位置的值，带来的好处就是能快速处理区间加减操作

2.3使用

对于区间[L,R][L,R][L,R]的增加一个x，那么在差分数组上我们进行的操作就是f[L]+x,f[R+1]−xf[L]+x,f[R+1]-xf[L]+x,f[R+1]−x，为什么呢？我们来回顾一下对于差分数组求前iii项前缀和求出来的就是d[i]d[i]d[i]，那么我们在f[L]f[L]f[L]的位置进行一个加法操作也就是让从L这个位置开始的后面所有的d进行一个+x的操作，对于F[R+1]−xF[R+1]-xF[R+1]−x其实就是让R+1到后面所有元素减去x，因为前面在L这个位置进行了以后所有元素+x这个操作

这样一来区间修改再求单点的值或者区间值的话复杂度就是O(N)O(N)O(N)的，其实到后面我们会去学习一种数据结构->树状数组，我们利用差分这个性质的话，在O(logn)O(log_n)O(logn)的时间复杂度就能求到单点和区间值，现在我们就不做探究了，其实差分重要的不是差分数组，而是差分思维。

练习题单

洛谷题单：https://www.luogu.com.cn/training/200

牛客：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/19483

牛客的BCD可能有点难，可以不用去做

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