《算法导论》之hash表

Hash表原理不难，难在如何选择表的大小以及hash函数，这个涉及到很多数学的东西，这里就先不详述了，而是先整理下基本概念和一些结论。

Hash就是通过函数，将大范围的key值映射到小范围的hash表中，相比起直接映射来说更加节省空间。而这种方法的一个问题就是会出现“碰撞”，即有多个值会映射到同一个表格项（槽）中。

所以Hash主要问题有两个：1.如何将key值尽量随机（少碰撞地）映射到hash表中，即如何设计hash函数。2.如果发生碰撞，如何解决。

一. 如何设计hash函数：三种方法——除法散列、乘法散列、全域散列。当然这些前提是key为自然数。如果key不是自然数，应设法转换为自然数。

1. 除法散列

散列函数：h(k) = k mod m，其中k为key值，m为槽数。

注意事项：其中一种情况是，m应为与2的整数幂不太接近的质数。否则等于取k的低位，没有随机效果。

2. 乘法散列

散列函数：h(k) = floor(m(kA mod 1))，其中0<A<1。

注意事项：优点是对m没特别要求，通常是2的某个幂次，因为适合计算机运算。对A没特别要求，有研究认为最好的A是(sqrt(5)-1)/2 = 0.618....。

3. 全域散列

散列函数：在计算时从一组hash函数中随机的选择一个函数

散列函数样例：ha,b(k) = ((ak + b)mod p) mod m，其中p为大于最大k的质数，0<a<p，0<=b<p，a,b属于N。

注意事项：对于m没有特别要求。散列函数簇就是所有符合条件的a与b不同组合得到的函数。

二. 如何解决碰撞。解决碰撞有两大类方法：链接法和开放寻址法。

1. 链接法。主要特点是碰撞通过在槽中维护链表来解决碰撞，这样发生碰撞的key都可以存储在同一槽中，通过遍历链表来查找key。

2. 开放寻址。不维护链表，而是通过一些偏移的方法将所有key映射在槽中。有三种方法：线性探查、二次探查、双重探查。

a. 线性探查

散列函数：h(k,i) = (h'(k) + i) mod m, i=0,1,...，其中i为探查次数

注意事项：这个意思就是，先用普通的散列函数计算出一个值，如果发生碰撞，就加上探查次数再取余，直到成功找到空槽。就是依次往后找到空槽。

b. 二次探查

散列函数：h(k,i) = (h'(k) + c1*i + c2*i^2) mod m，其中c2!=0。

注意事项：效果比线性探查好，c1、c2和m要受到限制。

c. 双重散列

散列函数：h(k,i) = (h1(k) + i*h2(k)) mod m。

注意事项：开放寻址最好的方法。为了能查找整个表，h2(k)要与m互质。

另外还有完全散列的方法，即最坏情况下内存访问为O(1)。实现方法可以用二级散列，散列表的每个槽都是一个散列，每级都使用全域散列。当然这要求key是静态的。

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