特征值和特征向量(整理)
三、特征值和特征向量的应用实例
1、主成分分析(Principle Component Analysis, PCA)
(1)方差、协方差、相关系数、协方差矩阵
方差:
协方差: , ,
**方差是衡量单变量的离散程度,协方差是衡量两个变量的相关程度(亲疏),协方差越大表明两个变量越相似(亲密),协方差越小表明两个变量之间相互独立的程度越大。
相关系数:,
**协方差和相关系数都可以衡量两个表明的相关程度,协方差未消除量纲,不同变量之间的协方差大小不能直接比较,而相关系数消除了量纲,可以比较不同变量之间的相关程度。
协方差矩阵:如果有两个变量X,Y,那么协方差矩阵为,协方差阵说明了样本中变量间的亲疏关系。
(2)主成分分析的思想和算法
主成分分析是利用降维的思想,将多个变量转化为少数几个综合变量(即主成分),其中每个主成分都是原始变量的线性组合,各主成分之间互不相关,从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息,且所含的信息互不重叠。它是一个线性变换,这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。
假设用p个变量来描述研究对象,分别用X1,X2…Xp来表示,这p个变量构成的p维随机向量为X=(X1,X2…Xp),n个样本构成组成了n行p列的矩阵A。主成分求解过程如下:
第一步,求解得到矩阵A的协方差阵B;
第二步,求解协方差阵B,得到按大小顺序排列的特征值向量,为特征值向量中每个特征值组成的对角矩阵,U为所有特征值对应的特征向量构成的矩阵U,因此有。重点来了,U是有特征向量构成的正定阵,向量的每一行可以视为一个的基向量,这些基向量经过矩阵B转换后,得到了在各个基向量上的伸缩,伸缩的大小即为特征向量。
第三步,主成分个数选择,根据特征值的大小,将特征值较大的作为主成分,其对应的特征向量就为基向量,特征值的筛选根据实际情况而定,一般大于1即可考虑作为主成分。
转载于:https://www.cnblogs.com/rswss/p/11441046.html
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