Lambda演算与科里化(Currying)

Lambda演算

早在现代计算机问世以前，Lambda演算（λ演算）已经由图灵的老师阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）引入。这种演算可以用来清晰地定义什么是一个可计算函数。它包括一条变换规则（变量替换）和一条函数定义方式，Lambda 演算的通用性在于任何一个可计算函数都能用这种形式来表达和求值。因而，它等价于后来提出的图灵机。Lambda 演算对函数式编程语言有巨大的影响，比如 Lisp 语言、ML 语言和 Haskell 语言（后面还会提到Haskell这个人）。

简介

在Lambda演算中的每一个表达式都代表一个单输入（单参数）的函数，函数的输出（值）仍然是一个这样的函数。例如一个简单的增值函数 f(x) = x + 1在Lambda演算中我们可以这样表示：λx. x + 1。这里的x叫做这个Lambda表达式的参数。相应的f(2)可以表示为：（λx. x + 1）2。特别的这里的参数也可以是一个类似的函数，在Lambda演算中所有函数都是匿名函数，它们既可以是其他函数的返回值也可以是参数，下面来看一个稍微复杂一点的例子： (λ f. f 3)(λ x. x+1) 。这个表达式的意思是说要将f 3这个行为应用到我们先前定义的函数λ x. x+1上去。该表达式等价于 (λ x. x + 2) 3 = 3+2。

Lambda演算的形式化定义

Lambda演算的过程是由若干个Lambda表达式构成的。一个Lambda表达式包含了一组变量v1, v2, …, vn，以及抽象符号‘λ’和‘( )’。这些Lambda表达式的集合Λ递归地定义如下：

如果 x 是一个变量, 则x ∈ Λ

如果 x 是一个变量且 M ∈ Λ, 则 (λx.M) ∈ Λ

如果M, N ∈ Λ, 则(M N) ∈ Λ

科里化（Currying）

科里化的概念最早由俄国数学家Moses Schönfinkel引入，而后由著名的数理逻辑学家哈斯格尔·科里(Haskell Curry)将其丰富和发展，Currying由此得名。它表示一种将一个带有N元组参数的函数转换成N个一元函数链的方法。前面提到的Lambda演算使用的都是1元函数，在有两个或者多个变量的情况下就要使用科里化了。

Currying的过程

Currying如何进行的呢？不妨来看一个直观的例子, 假设有如下函数：f(x, y, z) = x / y +z. 要求f(4,2, 1)的值。

首先，用4替换f(x, y, z)中的x，得到新的函数g(y, z) = f(4, y, z) = 4 / y + z

然后，用2替换g(y, z)中的参数y，得到h(z) = g(2, z) = 4/2 + z

最后，用1替换掉h(z)中的z，得到h(1) = g(2, 1) = f(4, 2, 1) = 4/2 + 1 = 3

很显然，如果是一个n元函数求值，这样的替换会发生n次，注意，这里的每次替换都是顺序发生的，这和我们在做数学时上直接将4，2，1带入x / y + z求解不一样。在这个顺序执行的替换过程中，每一步代入一个参数，每一步都有新的一元函数诞生，最后形成一个嵌套的一元函数链。这些一元函数和之前提到的Lambda演算中的单输入的函数是一回事。于是，通过Currying，我们可以对任何一个多元函数进行化简，使之能够进行Lambda演算。用C#来演绎上述Currying的例子就是：

偏函数应用

Currying的概念将函数式编程的概念和可变参数结合在一起，一个带n 个参数，科里化的函数固化第一个参数为固定参数，并返回另一个带n-1 个参数函数对象。这有点像我们求一个多元函数的偏导数的过程，这种函数将任意数量（顺序）的参数的函数转化成另一个带剩余参数的函数对象。这种行为也有个类似的名字---偏函数应用（Partial Function Applications）。

这里以Python 3.0中的PFA为例，要用到偏函数功能需要先导入functools模块。

>>> from functools import partial
>>> def f(x,y):
         return x+y

>>> p = partial(f,1) #固定一个参数1
>>> p(3)
4
>>> p(300)
301

当然，还可以让一个函数接收另一个函数作为参数，比如下面的求和函数：

这样就可以用它来接收我们定义的任意函数，并对它们在L上的值求和了。比方说我们可以通过这样的方式来求平方和：

C#中也有类似地实现，不过受委托强类型的限制，比较难看:-(，(见阅读资料[3])

阅读资料 

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Currying

[3] http://blogs.msdn.com/wesdyer/archive/2007/01/29/currying-and-partial-function-application.aspx

黄季冬

2009年10月22日