黄金分割法与单峰函数求极值

黄金分割法（又称 0.618 法）是求单峰函数极值的一种试探法，所谓单峰函数是指只有一个峰值（局部极小值也是全局极小值，或者说只有唯一的局部极小值）的函数，其严格定义为：

定义：设 f(x)f(x) 是定义在 [a,b][a, b] 上的函数，若：

（1）存在 x⋆∈[a,b]x^{\star}\in [a, b] 使 minx∈{a,b}f(x)=f(x⋆)\min_{x\in\{a,b\}}f(x)=f(x^\star)
（2）对任意的 a≤x1<x2≤ba\leq x_1，当 x2≤x⋆x_2\leq x^{\star} 时，f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2)；当 x1≥x⋆x_1\geq x^\star 时，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\leq f(x_2)

则称 f(x)f(x) 为 [a,b][a, b] 上的单峰函数。

搜索区间收缩原则

“去坏留好”原则

含义较为简单，不再赘述。
对称原则

x1−a=b−x2x2=a+b−x1

x_1-a=b-x_2\\x_2=a+b-x_1
等比原则

x2=a+w(b−a)x1=a+w2(b−a)

x_2=a+w(b-a)\\x_1=a+w^2(b-a)\\

又根据对称原则：x1−a=b−x2x_1-a=b-x_2，最终可得，

w2=1−w

w^2=1-w

简单举例，

求 y=x2y=x^2 （显然为单峰函数）在[-1, 1]上的最小值；

def golden_split(f, a, b):x1 = a + 0.332*(b-a)x2 = a + b - x1while abs(x1 - x2) < 1e-5:R, G = f(x1), f(x2)if R > G:b = x2x2 = x1x1 = a + b - x2else:a = x1x1 = x2x2 = a + b - x1return (a + b)/2print(golden_split(lambda x: x^2), -1, 1))

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