【每日算法Day 85】图解算法：一行代码解决约瑟夫环的变体

题目链接

LeetCode 390. 消除游戏[1]

题目描述

给定一个从 $1$ 到 $n$ 排序的整数列表。首先，从左到右，从第一个数字开始，每隔一个数字进行删除，直到列表的末尾。第二步，在剩下的数字中，从右到左，从倒数第一个数字开始，每隔一个数字进行删除，直到列表开头。我们不断重复这两步，从左到右和从右到左交替进行，直到只剩下一个数字。返回长度为 $n$ 的列表中，最后剩下的数字。

示例1

        输入：
n = 9,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8
2 6
6
输出:
6

题解

还记得几天前讲过的约瑟夫环问题吗？不记得了就回顾一下吧：

韦阳的博客：【每日算法Day 74】经典面试题：约瑟夫环，我敢打赌你一定不会最后一种方法！[2]

知乎专栏：【每日算法Day 74】经典面试题：约瑟夫环，我敢打赌你一定不会最后一种方法！[3]

当时我们的方法是通过编号映射来递归寻找下一轮存活的人的，那么这题也可以尝试用同样的方法。

我们分奇偶两种情况来考虑。

如果 $n=2k$ ，那么如上图所示，第一轮消除完了之后，剩下的数字就是绿色的偶数部分。

接着就要从右往左递归地消除了，那我们从右往左给绿色数字重新编号为 $1$ 到 $k$ ，问题就转化为了 $k$ 个数字的情况下，最后剩余的数字是几了。

假设我们用 $f(2k)$ 表示初始时 $n=2k$ 个数字最后剩下的编号，那么绿色部分重新编号后最后剩下的数字就是 $f(k)$ 。但是怎么将 $f(k)$ 重新映射回绿色的数字编号呢？

通过观察我们可以发现，绿色数字整除 $2$ ，再加上蓝色的映射后的编号，结果一定等于 $k+1$ 。所以我们就得到了映射回去的公式：

$f(2k) = 2(k+1-f(k)) \\$

比如说你求出来 $f(k) = 2$ ，也就是蓝色部分最后剩下的数字是 $2$ ，那么映射成绿色的编号就是 $2k-2$ ，这就是最初的编号了。

如果 $n=2k+1$ ，那么如上图所示，只需要在后面加个橙色的 $2k+1$ 就行了。

但是第一轮的时候它就被消除了，所以绿色的剩下的编号和之前偶数情况没有任何区别。所以最终的答案也是：

$f(2k+1) = 2(k+1-f(k)) \\$

最后发现奇偶情况下，公式其实可以统一起来，用 $n$ 来替换 $k$ 就得到了：

$f(n) = 2\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor-f\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)\right) \\$

代码

c++

        class Solution {public:int lastRemaining(int n) {return n==1 ? 1 : 2*(n/2+1-lastRemaining(n/2));}
};

python

        class Solution:def lastRemaining(self, n: int) -> int:return 1 if n==1 else 2*(n//2+1-self.lastRemaining(n//2))

参考资料

[1]

LeetCode 390. 消除游戏: https://leetcode-cn.com/problems/elimination-game/

[2]

韦阳的博客：【每日算法Day 74】经典面试题：约瑟夫环，我敢打赌你一定不会最后一种方法！: https://godweiyang.com/2020/03/19/leetcode-interview-62/

[3]

知乎专栏：【每日算法Day 74】经典面试题：约瑟夫环，我敢打赌你一定不会最后一种方法！: https://zhuanlan.zhihu.com/p/114391147