【图论】用匈牙利算法找女朋友(纯爱党的大胜利)

匈牙利算法

一、一些概念
- 1.二分图
- 2.二分图的匹配
二、匈牙利算法的实现步骤
- 1.情况一（你是我的唯一）
- 2.情况二（你们都是我的翅膀）
- 3.情况三（我会把你抢过来）
- 4.情况四（我爱的人已经有了爱人）
三、匈牙利算法的代码实现

一、一些概念

1.二分图

一定不含有奇数环，可能包含长度为偶数的环，不一定是连通图
二分图是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交子集，使得每一条边都分别连接两个集合中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图，如下图所示的全都是二分图：

关于二分图有一个重要的定理：G为二分图的充要条件是G中的每一个环的长度都是偶数 在这里就不证明了。

2.二分图的匹配

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。
二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

理解起来是不是很抽象？没关系，我来举一个例子：让我们假设二分图的左边全为男生，右边全为女生，线连着的男女生为情侣关系，允许出现脚踏n条船等混乱的男女关系的情况，那么：

二分图的匹配：把二分图删除一些边使男女生之间的关系没有出现脚踏n条船的情况，就说删除边后得到的新图为一个匹配(允许出现单身狗的情况)
二分图的最大匹配：删除部分边使得保留的情侣数量最多，我们就称这个匹配为最大匹配。

比如在上面的4张图中，图1就是图3的一个最大匹配。

二、匈牙利算法的实现步骤

在故事的最开始，作为爱神丘比特的你得到了4对男女生之间的关系图

真是混乱的男女关系啊…

不过没关系，我们将化为纯爱战士，来让他们混乱的男女关系恢复正常！开始干活！

1.情况一（你是我的唯一）

首先我们看向男1，发现男1很纯情的只喜欢着女2，那么就成全他们吧。确定他们两个人的情侣关系。

2.情况二（你们都是我的翅膀）

接下来我们看向男2，发现男2喜欢着女1和女3两个女孩子。问问男2吧，他表示：我对这两个女孩子都是真心的，选谁都行！

选谁都行啊，那我们就随便选吧，把男2和女1牵上红线。

3.情况三（我会把你抢过来）

搞定，然后我们再看看男3，男3表示：我也喜欢女1啊！明明是我更加喜欢她！为什么？为什么她和别人在一起了啊！我不能接受！

嗯…看来我们的男3不想放弃啊，那我们尝试和男2交涉一下。

“男2呀，你有备胎吗？”
“有啊，怎么了？”
“男3看上了你女朋友，要不你和你备胎在一起，把你女朋友让给别人吧”
“嗯…好吧，记得让他请我吃饭”（作者对男2这种渣男表示强烈谴责！）

ok，这样的话事情就圆满解决了，可喜可贺可喜可贺。

4.情况四（我爱的人已经有了爱人）

解决了男2和男3的问题，我们再看向男4。

男4说：我喜欢女3！我想和女3在一起！
我看了看，女3不是男2的新女友吗？额…我再去找男2看看吧。

“什么？还要我换？大哥，我没别的备胎了，我拒绝！要是我还有备胎的话还差不多。”（作者对男2这种渣男表示强烈谴责！）

我们只好回头土脸的找到男4。那个，我们交涉失败了，女3是没戏了，要不你换一个追求对象我帮你争取一下？

男4低头沉思了一下，“我觉得吧，女4其实也挺可爱的。”

ok，安排！我们看了看，发现女4还是单身呢，那就成全你们吧。

最后，我们得到的最大匹配就是这样

男女关系正常了，纯爱党一脸满足~

总结：算法描述：
如果你想找的妹子已经有了男朋友，
你就去问问她男朋友，
你有没有备胎，
有备胎就把你女朋友让给我
你没有备胎我就只好找我的备胎

多么真实而实用的算法~
时间复杂度为O(nm)，但是实际操作中时间一般会小于n*m。
多好的算法啊，连时间复杂度都这么优雅~

三、匈牙利算法的代码实现

例题链接：Acwing 二分图的最大匹配
匈牙利算法板子题，是必须要掌握的题目

给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。请你求出二分图的最大匹配数。二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。数据范围
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤1e5
输入样例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例：
2

代码实现及分析

//#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<list>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef  pair<int, int> PII;
const int N = 1e6 + 7;
int n1, n2, m;
int h[550], ne[N], e[N], id = 1;// 链式前向星存图
bool st[N];//防止重边的情况导致死循环,防止一个男生重复询问一个女生导致死循环
int match[N];//用来存女生匹配的男生的编号void add(int a, int b)
{e[id] = b, ne[id] = h[a], h[a] = id++;
}int find(int x)  //找男生x能不能匹配到女生
{for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])  //遍历所有的边{int j = e[i];if (!st[j])  //防止重边导致的死循环{st[j] = true;if (!match[j] || find(match[j]))  //如果这个女生还没有男朋友或者她现在的男朋友有备胎{match[j] = x;  //那就让她男朋友换备胎，然后她成为x的女朋友return true;  //匹配成功}}}return false;  //匹配失败
}void solve()
{mem(h, -1);cin >> n1 >> n2 >> m;while (m--){int a, b;cin >> a >> b;add(a, b);}int res = 0;for (int i = 1; i <= n1; i++){mem(st, false);  //重置if (find(i))  //给i找女朋友啦res++;}cout << res << endl;
}int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}

作者：Avalon Demerzel，喜欢我的博客就点个赞吧，更多图论与数据结构知识点请见作者专栏《图论与数据结构》