790. 多米诺和托米诺平铺
https://leetcode-cn.com/problems/domino-and-tromino-tiling/
有两种形状的瓷砖:一种是 2x1 的多米诺形,另一种是形如 “L” 的托米诺形。两种形状都可以旋转。
XX <- 多米诺
XX <- “L” 托米诺
X
给定 N 的值,有多少种方法可以平铺 2 x N 的面板?返回值 mod 10^9 + 7。
(平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同,当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个,使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。)
示例:输入: 3输出: 5解释:
下面列出了五种不同的方法,不同字母代表不同瓷砖:
XYZ XXZ XYY XXY XYY
XYZ YYZ XZZ XYY XXY
我们定义fe[n]表示2*n的格子有多少种铺法,定义fo[n]表示2*n + 1的格子有多少种铺法(也就是在2*n的格子上面含有一个格子),然后推导fe和fo的递推关系。对于fe的最顶层,我们分别有如下图所示的几种铺法,因此,可以得出递推关系为:
fe[n] = fe[n - 1] + fe[n - 2] + 2fe[n - 3] + 2fo[n - 3];
上图3,4,5,6可以归为一类
fe[n] = fe[n - 1] + fe[n - 2] + 2fo[n-2]
fo[n] = fo[n - 1] + fe[n - 1]
特别地,我们容易得知:fe[1] = 1, fe[2] = 2, fe[3] = 5, fo[1] = 2, fo[2] = 2, fo[3] = 4。因此就可以根据初始条件和递推关系写出基于动态规划的源代码了。
我们在下面写出的源代码的空间复杂度为O(N),时间复杂度为O(N)。但是注意到fe[n]和fo[n]也仅仅只和fe[n-1], fe[n-2], fe[n-3]以及fo[n-1], fo[n-2], fo[n-3]有关,所以还可以进一步将空间复杂度从O(n)优化到O(1)。
更新:其实把fo(n) = fo(n - 1) + fe(n - 1)代入fe(n),可以得到更简单的递推公式:fe[n] = fe[n - 1] + fe[n - 2] + 2fo[n-2],甚至还可以进一步优化为fe[n] = fe[n - 1] + fo[n - 1] + fo[n-2],还可以进一步优化为fe[n] = fo[n] + fo[n - 2]。这样写出来的代码应该就更简洁优雅了。
class Solution:def numTilings(self, N: int) -> int:a=[0, 1, 2, 5]b=[0, 1, 2, 4]c = 10**9+7if N<4:return a[N]for i in range(4, N+1):a.append((a[i-1]+2*b[i-2]+a[i-2])%c)b.append((a[i-1]+b[i-1])%c)return a[N]
内存占用最少:
class Solution:def numTilings(self, N: int) -> int:a=[1, 2, 0]b=[1, 2, 0]c = 10**9+7if N<3:return a[N-1]for i in range(3, N+1):a[2] = (a[1]+2*b[0]+a[0])%cb[2] = (a[1]+b[1])%ca[0] = a[1]a[1] = a[2]b[0] = b[1]b[1] = b[2] return a[2]
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