蓝桥杯2017 包子凑数

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入

第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

输出

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

例如，
输入：
2
4
5

程序应该输出：
6

再例如，
输入：
2
4
6

程序应该输出：
INF

思路：

数学问题，是属于求解A1x1+A2X2+…+AiXi=C不定方程的类型，有数学家已经证明了Ax+By=C，在A，B不互质时有无限个使方程无解的C，在A，B互质时使方程无解的C有限，且使方程无解的C的最大值小于A*B-A-B。通过上述结论，可以得出:

*1.只要A1…Ai中存在两个下标为x，y的数互质，则使得方程无解的C有限，且C<=A[x]A[y]-A[x]-A[y]。

2.如果A1…Ai中没有两个数互质，则方程有无限多个是方程无解的C。

根据上述结论就可以得到无限多个C的条件，现在考虑C有限情况下的个数。
现在就把问题转换为了背包问题，i个不同重量大小的物品刚好装满背包。
根据dp的性质，最后下面一行数组就可以得到满足条件的背包容量有哪些。
大概就是这么一个填充思路，行代表背包容量，列代表物体重量。
但是这题还有另一个思路，反正都是继承自上一行，而且需要得到的是不能被完全装满的背包容量，而不是最多的物品重量，那干脆只开一行数组，然后每次遇到可以被表示的数，数再加上物品i的重量必然也可以被表示。

最后统计数组中0的个数就是我们要的解。
代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>using namespace std;vector<int> Ai;
int f[10000];int gcd(int x, int y) {if (y == 0)return x;return gcd(y, x % y);
}int main() {int n;cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++){int data;cin >> data;Ai.push_back(data);}int max;bool flag=false;for (int i = 0; i < Ai.size()&&!flag; i++){//判断解是否有限for (int j = i+1; j < Ai.size(); j++){if (gcd(Ai[i], Ai[j]) == 1) {max = Ai[i] * Ai[j] - Ai[i] - Ai[j];flag = true;break;}}}if (!flag) {cout << "INF\n";return 0;}f[0] = true;for (int i = 0; i <= max; i++) {//处理背包问题for (int j = 0; j < Ai.size()&&f[i]; j++) {if(i + Ai[j]<=max)f[i + Ai[j]] = true;}}int num = 0;for (int i = 0; i <= max; i++){//统计解的个数if (!f[i])num++;}cout << num;return 0;
}

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输入

输出

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