HDU 3374 最小 / 大表示法

题意

传送门 HDU 3374 String Problem

题解

求字符串中字典序最小与最大的循环同构串，并求解对应的起始字符在原字符串中出现的位置最早的一个，以及这个循环同构串出现的次数。

最小/大表示法

字符串字典序最小/大的循环同构串称为字符串的最小/大表示。设字符串 SSS 长度为 nnn，最小/大表示法的可以 O(n)O(n)O(n) 求解，区别只在于字典序的判断。以最小表示法的求解为例，将原串 SSS 复制一份接在其结尾，得到的字符串记为 SSSSSS，则有 SS[i,i+n),i∈[0,n)SS[i, i+n),i\in[0, n)SS[i,i+n),i∈[0,n) 为 SSS 的以 iii 为起始位的循环同构串。

对于任意的 i,ji,ji,j，观察其字典序比较过程，设 k(k<n)k(k<n)k(k<n) 为以 i,ji,ji,j 为起始位置的循环同构串的最长前缀匹配长度，若 SS[i+k]>SS[j+k]SS[i+k]>SS[j+k]SS[i+k]>SS[j+k]，那么对于以位置 [i,i+k][i,i+k][i,i+k] 为起始位置的循环同构串，都存在对应的起始位置 [j,j+k][j,j+k][j,j+k] 的字典序更小的循环同构串，跳过这些位置，一定不会遗漏最小表示的起始位置。于是初始化 i=0,j=1i=0,j=1i=0,j=1，不断比较以 i,ji,ji,j 为起始位置的循环同构串，若 k<nk<nk<n，则按照上述规则不断跳过不可能为备选答案的位置，最终当 i≤ni\leq ni≤n 或 j≤nj\leq nj≤n 时，所有循环同构串都进行过比较，那么 min(i,j)min(i,j)min(i,j) 即最小表示的起始位置；若出现 k=nk=nk=n 的情况，说明 SSS 有更小的循环元，由于 i,ji,ji,j 从左向右扫描，则 i,ji,ji,j 分别为最小表示的最小起始位置和次小起始位置，则 max(i,j)−min(i,j)max(i,j)-min(i,j)max(i,j)−min(i,j) 为最小循环元的长度。

那么，若求解最小表示法时出现 k=nk=nk=n，那么 min(i,j)min(i,j)min(i,j) 为最小表示对应的起始字符在原字符串中出现的位置最早的一个，出现次数为 n/[max(i,j)−min(i,j)]n/[max(i,j)-min(i,j)]n/[max(i,j)−min(i,j)]；反之，SSS 不存在更小的循环元，min(i,j)min(i,j)min(i,j) 为最小表示对应的起始字符在原字符串中出现的位置最早的一个，出现次数为 111。

循环元存在性证明

方便起见，设字符串长度为 xxx，设 i,ji,ji,j 从左向右扫描出现的最早满足 k=xk=xk=x 情况的下标分别为 000 和 y,y∈[1,x)y,y\in[1,x)y,y∈[1,x)，对应的循环同构串为 A,BA,BA,B。

先证必要性。若 SSS 存在长度小于 xxx 的循环元，设其长度为 yyy，那么以 kt,t∈[0,x/y)kt,t\in [0,x/y)kt,t∈[0,x/y) 为起始位置的循环同构串相等，则比较字典序时出现 k=xk=xk=x 情况。

再证充分性，若 y∣xy\mid xy∣x，此时
A[n−y,n)=B[n−2y,n−y)=A[n−2y,n−y)A[n-y,n)=B[n-2y,n-y)=A[n-2y,n-y)A[n−y,n)=B[n−2y,n−y)=A[n−2y,n−y) 递推到边界，可以观察到 A,BA, BA,B 是按照循环节的长度交错排列的，且存在长度为 yyy 的循环节；若 y∤xy\nmid xy∤x，按照上述思路递推，在边界上有
A[0,y)=S[0,y)=B[n−y,n)=B[x%y,x%y+y)=A[x%y,x%y+y)A[0,y)=S[0,y)=B[n-y,n)=B[x\% y,x\%y+y)=A[x\%y,x\%y+y)A[0,y)=S[0,y)=B[n−y,n)=B[x%y,x%y+y)=A[x%y,x%y+y) 设 x′=y,y′=x%yx'=y,y'=x\%yx′=y,y′=x%y，则得到规模缩小的原问题。设 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 代表字符串长度为 xxx，222 个循环同构串起始位置索引差值为 yyy 且相等时原串 SSS 是否存在长度小于 xxx 的循环节，那么有
f(x,y)=f(y,x%y)f(x,y)=f(y,x\%y)f(x,y)=f(y,x%y) 递归问题的形式与欧几里德算法一致，边界情况 f(gcd(x,y),0)f(gcd(x,y),0)f(gcd(x,y),0) 不满足 y∈[1,x)y\in[1,x)y∈[1,x)，但可以推出递归的前一步为真，以其为递归的终点，则可以判断 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 为真，且循环节长度为 gcd(x,y)gcd(x,y)gcd(x,y)。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1000005;
char S[maxn * 2];
int n, rnk, t;void solve(bool f)
{int i = 0, j = 1, k;while (i < n && j < n){for (k = 0; k < n && S[i + k] == S[j + k]; ++k);if (k == n){rnk = min(i, j), t = n / (max(i, j) - rnk);return;}bool g = (!f && S[i + k] > S[j + k]) || (f && S[i + k] < S[j + k]);if (g)i += k + 1, i += i == j;elsej += k + 1, j += i == j;}rnk = min(i, j), t = 1;
}int main()
{while (~scanf(" %s", S)){n = strlen(S);memcpy(S + n, S, sizeof(char) * n);solve(0);printf("%d %d ", rnk + 1, t);solve(1);printf("%d %d\n", rnk + 1, t);}return 0;
}