1.2　集合间的基本关系

【学习目标】

课程标准	学科素养
1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点) 2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点) 3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。	1、逻辑推理 2、直观想象 3、数形结合

【自主学习】

1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中        元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作      (或      )，读作“         ”(或“         ”)．

2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且                       (     )，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作

3．如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的           ，记作          (或         )．

4．不含任何元素的集合叫做     ，记作      .

5．        是任何集合的子集，        是任何非空集合的真子集.

【小试牛刀】

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　)

(2)任何一个集合都有子集．(　　)

(3)若A＝B，则A⊆B.(　　)

(4)空集是任何集合的真子集．(　　)

2.集合{0,1}的子集有(　　)

A．1个　　　　　　B．2个　　　　　　C．3个　　　　　　D．4个

3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是(　　)

A．0⊆A  B．{0}∈A  C．∅∈A  D．{0}⊆A

4．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x²＝x}关系的Venn图是(　　)

【经典例题】

题型一　集合间关系的判断

例1　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)

①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．

A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4

(2)指出下列各组集合之间的关系：

①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N^*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N^*}．

[跟踪训练] 1

(1)若集合M＝{x|x²－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是(　　)

A．M T      B．M⊆T       C．M＝T      D．M ∈T

(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．

题型二　子集、真子集的个数问题

例2　(1)已知集合A＝{x∈R|x²－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A．1　　 B．2　　　C．3　　　D．4

(2)已知集合A＝{x∈R|x²＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为(　　)

A．－2  B．4      C．0      D．以上答案都不是

[跟踪训练] 2

(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

(2)若集合A {1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．

题型三　根据集合的包含关系求参数

例3　已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．

[跟踪训练] 3. 设集合A＝{x|x²－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．

(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系；

(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．

题型四 集合相等关系的应用

例4　已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y²}且A＝B，求x，y的值．

注意：集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．

[跟踪训练] 4. 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a²，a＋b,0}，求a.，b.

【当堂达标】

1．已知集合P＝{x|x²＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是(　　)

A．1　　　　B．－1      C．1或－1     D．0,1或－1

2．已知集合M＝{y|y＝x²－2x－1，x∈R}，集合N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是(　　)

A．M>N　　　 B．MN       C．NM       D．M⊆N

3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x^2,2}，若A＝B，则x的值是(　　)

A．1         B．－1            C．±1       D．0

4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　)

A．2    B．4    C．6    D．8

5．设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是(　　)

A．m>3     B．m≥3      C．m<3      D．m≤3

6．已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．

7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a²－a＋1}，且B⊆A，则a的值为________．

8．已知A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x>a}，A⊆B，则实数a的取值范围是________．

9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b²}，且M＝N，试求a与b的值．

10．已知A＝{x|x²－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C.

【参考答案】

【自主学习】

1．任意一个， A⊆B，B⊇A， A含于B ， B包含A

2．集合B是集合A的子集，B⊆A， A＝B.

3．真子集， A B(或B A)．

4．空集， ∅.

5．空集 ，空集

【小试牛刀】

1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2. D 【解析】集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．

3. D 【解析】集合A＝{x|－1－x<0}＝{< span="">x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．

4 .B 【解析】N＝{x∈R|x²＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.

【经典例题】

例1　(1) B  (2)见解析

【解析】　(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.

(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

③方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N^*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.

方法二　由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.

[跟踪训练] 1

(1)A  【解析】因为M＝{x|x²－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以MT.

(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图

例2　(1) B    (2)C

【解析】(1)由x²－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．

(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x²＝a只有一个解；若方程x²＝a只有一个解，必有a＝0.

[跟踪训练]  2　(1)B　(2)5 【解析】(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，

又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.

(2)若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．

例3　解：(1)当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B. ①

(2)当a>0时，A＝x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(12a))).

又∵B＝{x|－1<< span="">x<1}，且< span="">A⊆B，∴\f(1a2a)≤1.②

∴a≥2.

(3) 当a<0时，< span="">A＝x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(21a))).③

∵A⊆B，∴\f(2a1a)≤1.∴a≤－2.

综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥2，或a≤－2}.

[跟踪训练] 3　解：(1)由x²－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝15时，

由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B A.

(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝\f(1a))，

由B⊆A得1a＝3或1a＝5，所以a＝13或a＝15.

综上所述，实数a的取值集合为0，\f(115)

例4　解　方法一　∵A＝B    ∴集合A与集合B中的元素相同

∴x＝2xy＝y2)或x＝y2y＝2x)，解得x，y的值为x＝0y＝0)或x＝0y＝1)或x＝\f(1412)

验证得，当x＝0，y＝0时，

A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．

∴x，y的取值为x＝0y＝1)或x＝\f(1412)

方法二　∵M＝N，∴M、N中元素分别对应相同．

∴x＋y＝2x＋y2，x·y＝2x·y2，) 即x＋y(y－1)＝0，　　　①xy(2y－1)＝0.  ②)

∵集合中元素互异， ∴x、y不能同时为0.   ∴y≠0.由②得x＝0或y＝12.

当x＝0时，由①知y＝1或y＝0(舍去)；

当y＝12时，由①得x＝14.

∴x＝0，y＝1，)或x＝\f(1412)

[跟踪训练] 4.由集合相等得：0∈，易知a≠0，∴＝0，即b＝0，∴a²＝1且a.²≠a. ∴a.＝－1.

综上所述：a＝－1，b＝0.

【当堂达标】

1．D【解析】由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.

2．C 【解析】因为y＝(x－1)²－2≥－2，所以M＝{y|y≥－2}，所以N M

3．C【解析】由A＝B得x²＝1，所以x＝±1，故选C.

4．B【解析】根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．

5．B【解析】因为A＝{x|2<< span="">x<3}，< span="">B＝{x|x<< span="">m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.

6．AB 【解析】A＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，B＝{x|2x－5≥0}＝x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥\f(52)))). 结合数轴知AB.

7．－1或2

【解析】∵A＝{1,3，a}，B＝{1，a²－a＋1}，且B⊆A，

∴a²－a＋1∈A，∴a²－a＋1＝3或a²－a＋1＝a.

由a²－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；

由a²－a＋1＝a，得a＝1. 经检验，a＝1时集合A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．

故a＝－1或a＝2.

8．{a|a≤－3} 【解析】在数轴上画出集合A.

  又因为A⊆B，所以aa＝－3时也满足题意，所以a≤－3.

9．解：方法一　根据集合中元素的互异性，

有a＝2a，b＝b2，)或a＝b2，b＝2a，)解得a＝0b＝1)或a＝0，b＝0，)或a＝\f(1412).

再根据集合中元素的互异性，得a＝0，b＝1，)或 a＝\f(1412).

方法二　∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．

∴a＋b＝2a＋b2，a·b＝2a·b2，) 即a＋bb－1＝0，　　 　 　①ab2b－1＝0.　　　　　　②)

∵集合中的元素互异， ∴a，b不能同时为零．

当b≠0时，由②得a＝0或b＝12.

当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．

当b＝12时，由①得a＝14.

当b＝0时，a＝0(舍去)．

∴a＝0，b＝1，)或a＝\f(1412).

10．解：由x²－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2. 所以A＝{1,2}．

因为B⊆A，所以对B分类讨论如下：①若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0；

②若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．

当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；

当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.

综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．

寄语：生活总是起起伏伏，谁都难免遇到低谷，然而决定一个人能达到什么高度的，恰恰是他身处低谷时的态度。放纵自己简单，跨越低谷很难，想要行至高处时展翅飞翔，必须懂得在低处积蓄力量。只管踏实向前，辛苦的旅程终会换来理想的生活。