1. Ceres Solver

Ceres solver 是谷歌开发的一款用于非线性优化的库
在谷歌的开源激光雷达SLAM项目Cartographer 中被大量使用

使用Ceres求解非线性优化问题，一共分为四个部分：

构建代价函数cost fuction，也就是寻优的目标式
通过代价函数构建 待求解的优化问题
配置求解器参数
求解问题

Ceres主要用于求解无约束或者有界约束的最小二乘问题
这个概念可以用以下表达式表示：

任务就是找到一组满足约束 lll_j≤x≤x≤x_j≤u≤u≤u_j的xxx₁,⋯,xxx_k，使得优化目标函数取值最小

xxx₁,⋯,xxx_k 优化参数，被称为参数块，它们的取值就是寻找的解
lll_j，uuu_j 第jjj个优化参数xxx_j的下界和上界
ρρρ_i(∥f(∥f(∥fi (x(x(x₁,⋯,xxx_k)∥)∥)∥²))) 残差项，其中fff_i(⋅)(⋅)(⋅)是代价函数，ρρρ_i(⋅)(⋅)(⋅)则是关于代价函数平方的核函数
核函数存在的意义主要是为了降低野点对于解的影响

2. 下载安装

使用以下命令安装依赖

sudo apt-get install cmake libgoogle-glog-dev libgflags-dev libatlas-base-dev libeigen3-dev libsuitesparse-dev

下载源码，推荐用国内源

git clone https://gitcode.net/mirrors/ceres-solver/ceres-solver.git

开始编译

mkdir ceres-bin
cd ceres-bin/
cmake ../ceres-solver
make -j3
sudo make install

测试一下

bin/simple_bundle_adjuster ../ceres-solver-2.0.0/data/problem-16-22106-pre.txt

3. 简易例程

Ceres官网教程给出的例程中，求解的问题是求xxx使得 12\frac{1}{2}21 ∗(10−x)* (10−x)∗(10−x)² 取到最小值

代码如下：

#include <iostream>
#include <ceres/ceres.h>using namespace std;
using namespace ceres;/* 第一步：构建代价函数，利用仿函数对（）进行重载 */
struct CostFunctor
{template <typename T>bool operator()(const T *const x, T *residual) const{residual[0] = T(10.0) - x[0];return true;}
};/* 主函数 */
int main(int argc, char **argv)
{google::InitGoogleLogging(argv[0]);/* 寻优参数x的初始值，为5.0 */double initial_x = 5.0;double x = initial_x;/* 第二步：构建寻优问题 */Problem problem;/* 使用自动求导，将之前的代价函数结构体传入，第一个1是输出维度，即残差的维度，第二个1是输入维度，即待寻优参数x的维度。 */CostFunction *cost_function = new AutoDiffCostFunction<CostFunctor, 1, 1>(new CostFunctor);/* 向问题中添加误差项，本问题比较简单，添加一个就行。 */problem.AddResidualBlock(cost_function, NULL, &x);/* 第三步：配置求解器 */Solver::Options options;options.linear_solver_type = ceres::DENSE_QR; /* 配置增量方程的解法 */options.minimizer_progress_to_stdout = true;  /* 配置输出到cout */Solver::Summary summary;                      /* 定义优化信息 *//* 第四步：运行求解器 */Solve(options, &problem, &summary);/* 输出优化的简要信息 */std::cout << summary.BriefReport() << "\n";/* 输出最终的结果信息 */std::cout << "x : " << initial_x << " -> " << x << "\n";return 0;
}

4. 环境运行

在与源码和编译文件夹同级路径再新增测试文件夹ceres-examples：

$ mkdir ceres-examples
$ ls
# ceres-bin  ceres-examples  ceres-solver
$ cd ceres-examples

文件以example.cpp为例，新建文件复制上述代码

再新建CMakeLists.txt文件

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project(ceres-examples)find_package(Ceres REQUIRED)
include_directories(${CERES_INCLUDE_DIRS})add_executable(example example.cpp)
target_link_libraries(example ${CERES_LIBRARIES})

然后编译并执行文件

$ cmake ../ceres-examples/
$ make
$ ./example

最终解为10使得 12\frac{1}{2}21 ∗(10−x)* (10−x)∗(10−x)² 取到最小值

5. 非线性拟合

拟合非线性函数的曲线： y=ey=ey=e^3x²+2x+1

#include <iostream>
#include <ceres/ceres.h>
#include <time.h> using namespace std;
using namespace ceres;/* 构建代价函数结构体，abc为待优化参数，residual为残差。*/
struct CostFunctor
{CostFunctor(double x, double y) : _x(x), _y(y) {}template <typename T>bool operator()(const T *const abc, T *residual) const{residual[0] = _y - exp(abc[0] * _x * _x + abc[1] * _x + abc[2]);return true;}const double _x, _y;
};/* 主函数 */
int main()
{/* 参数初始化设置，abc初始化为0，噪声 */double a = 3, b = 2, c = 1;double abc[3] = {0, 0, 0};/* 设置rand()产生随机数时的随机数种子 */srand((int)time(0));/* 生成待拟合曲线的数据散点 */vector<double> x_data, y_data;for (int i = 0; i < 1000; i++){double x = i / 1000.0;x_data.push_back(x);y_data.push_back(exp(a * x * x + b * x + c) + (rand() % 11 - 5) / 10.0);}/* 第二步：构建寻优问题 */Problem problem;/* 遍历所有数据点，添加AddResidualBlock */for (int i = 0; i < 1000; i++){problem.AddResidualBlock(new AutoDiffCostFunction<CostFunctor, 1, 3>(new CostFunctor(x_data[i], y_data[i])),nullptr, /* 不使用核函数 */abc);    /* 待优化参数 */}/* 第三步：配置求解器 */Solver::Options options;options.linear_solver_type = DENSE_QR;options.minimizer_progress_to_stdout = true;Solver::Summary summary;/* 第四步：运行求解器 */Solve(options, &problem, &summary);/* 输出最终的结果信息 */cout << "a= " << abc[0] << endl;cout << "b= " << abc[1] << endl;cout << "c= " << abc[2] << endl;return 0;
}

参考上节编辑文件和编译，执行效果如下：

求出来和原始参数很接近

谢谢！

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