之前的博客：http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6681943.html中简单介绍了Learning to Rank的基本原理，也讲到了Learning to Rank的几类常用的方法：pointwise，pairwise，listwise。前面已经介绍了pairwise方法中的 RankSVM 和 IR SVM，这篇博客主要是介绍另一种pairwise的方法：GBRank。

GBRank的基本思想是，对两个具有relative relevance judgment的Documents，利用pairwise的方式构造一个特殊的 loss function，再使用GBDT的方法来对此loss function进行优化，求解其极小值。

1. 构造loss function

GBRank的创新点之一就在于构造一个特殊的loss function。首先，我们需要构造pair，即在同一个query下有两个doc，我们可以通过人工标注或者搜索日志中获取的方法，来对这两个doc与该query的相关程度进行判断，得到一个相关关系，即其中一个doc的相关程度要比另一个doc的相关程度更高，这就是relative relevance judgment。一旦我们有了这个pairwise的相对关系，问题就成了如何利用这些doc pair学习出一个排序模型。

假设我们有以下的preference pairs 作为training data：

我们构造出以下的loss function：

我个人觉得，这个loss function有些受SVM中的hinge loss的启发，是在hinge loss的基础上，将原来为1的参数改成了。即当与的差距达到以上的时候，loss才为0，否则loss为。

然后问题就变成了怎样对这个loss function进行优化求解极小值。这里使用了GBDT的思想，即Functional Gradient Descent的方法。

2. Functional Gradient Descent

首先我们来回顾一下Functional Gradient Descent在GBDT中的使用，具体可见之前的博客：http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6667267.html。

在GBDT中，Functional Gradient Descent的使用为：将需要求解的F(x)表示成一个additive model，即将一个函数分解为若干个小函数的加和形式，而这每个小函数的产生过程是串行生成的，即每个小函数都是在拟合 loss function在已有的F(x)上的梯度方向（由于训练数据是有限个数的，所以F(x)是离散值的向量，而此梯度方向也表示成一个离散值的向量），然后将拟合的结果函数进一步更新到F(x)中，形成一个新的F(x)。

再回到我们现在面对的问题，对loss function，利用Functional Gradient Descent的方法优化为极小值。即将f(x)表示成additive model，每次迭代的时候，用一个regression tree来拟合loss function在当前f(x)上的梯度方向。此时由于训练数据是有限个数的，f(x)同样只是一系列离散值，梯度向量也是一系列离散值，而我们就是使用regression tree来拟合这一系列离散值。但不一样的地方在于，这里的loss function中，有两个不一样的f(x)的离散值与，所以每次我们需要对f(x)在这两个点上的值都进行更新，即需要对一个training instance计算两个梯度方向。

首先，我们将

看做两个未知变量，然后求解loss function对这两个未知变量的梯度，如下：

如果，则此时对应的loss为0，我们无需对f(x)进行迭代更新；而如果，则此时的loss不为0，我们需要对f(x)进行迭代更新，即使得新的f(x)在这个instance上的两个点的预测值能够更接近真实值。

具体为：

当学习速率等于1的时候，更新公式即为：

此时需要注意的是，有些feature vector x可能会出现多次，关键在不同instance中对其的更新值还可能不相同。

一种方法是对同一个feature vector x，将其不同的更新值求平均，作为其最终需要更新到的目标值，再进行拟合。

另一种更好的方法是，将所有的instance都加入到regression拟合过程中，不论这些feature vector是否会出现多次且不同次的拟合目标还不一样。我们需要做的就是让regression拟合过程，结合所有instance的全局信息，自己决定该怎么样拟合，怎样解决同一个feature vector有不同目标值得问题。

3. 模型学习步骤

当我们收集到所有loss值不为0的training instance后，我们便得到了其对应的更新值：

接着，我们便使用一棵regression tree对这些数据进行拟合，生成一个拟合函数g_k(x)，然后将这次迭代更新的拟合函数更新到f(x)中，此处采用线性叠加的方式：

其中，ß即为shrinking系数。

在这里大家或许会有疑问，为什么在每次迭代更新的时候，新的regression tree不像GBDT中那样，纯粹地去拟合梯度方向（一个离散值的向量），而是去拟合这样一个 原始预测值+梯度更新值 后的新预测值向量呢？我自己的理解是这样的（不知道对不对？欢迎大家指正）：因为在每次迭代更新的时候，只是取了部分训练数据（即所有loss值不为0的training instance中的doc pair），所以每次拟合的时候，都只是对这部分数据进行训练，得到一个regression tree，然后把这个新的拟合函数（即regression tree）添加到总的预测函数f(x)中去，即这个regression tree在预测时候是需要对所有训练数据，而不是部分数据，进行预测的。所以如果每次迭代是去拟合梯度的话（梯度方向完全有可能与当前的f(x)向量方向相差很大），在预测的时候，这个regression tree对其余数据（并没有参与这个regression tree训练的数据）的预测值会偏离它们原始值较多，而且这个偏离是不在期望之中的，因为这些数据的当前预测值已经相对靠谱了（不会对loss function有贡献）。所以，当每次拟合的目标是 原始f(x)向量 + 梯度向量 的时候，这个新的向量不会跑的太偏（即跟原始向量相差较小），这时候拟合出来的结果regression tree在对整体数据进行预测的时候，也不会跑的太偏，只是会根据梯度方向稍微有所改变，对其它并不需要更新的数据的影响也相对较小。但同时也在逐渐朝着整体的优化方向上去尝试，所以才会这么去做。

总结来看，GBRank的整体学习步骤总结如下：

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