概率论与数理统计前两章总结

第一章

1.2

若干公式

$(1).P(\o )=0$

$(2).P(\cup A_{i}) = \sum P(A_{i})$

$(3).P(\overline{A}) = 1-P(A)$

$(4).P(A-B)=P(A)-P(AB)$

$(5).0\leq P(A)\leq 1$

$(6).P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

$(7).P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

1.3

古典概型

$P(A)=\frac{S(A)}{S(\Omega )}$ ，其中S(A)表示使A发生的基本事件数，S（Ω）表示基本事件总数，二者都是离散的

几何概型

$P(A)=\frac{S(A)}{S(\Omega )}$ ，其中S(A)表示符合条件的基本事件， S（Ω）表示基本事件总体，二者都是连续的

1.4

条件概率公式

$P(B|A) =\frac{P(AB)}{P(A)}$

乘法公式

$P(AB)=P(B)P(A|B)$

全概率公式

$P(B)=\sum P(A_{i})P(B|A_{i})$ ，其中 $A_{i}$ 为一个完备事件组

贝叶斯公式

$P(A_{i}|B)=\frac{P(A_{i}B)}{P(B)}=\frac{P(A_{i})P(B|A_{i})}{\sum_{j}^{}P(A_{j})P(B|A_{j})}$

特别地，“对立事件”中， $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})}$

事件的独立性

“独立”的定义： $P(AB)=P(A)P(B)$

伯努利定理：

独立重复实验中：事件A发生的概率是p，则n次实验中A发生k次的概率为： $P = \binom{k}{n}p^{k}(1-p)^{n-k}$

第2章

2.1

概率分布（分布律）：X的所有可能取值及对应的概率（ $f(x)$ ）

分布函数： $F(x)=P( X\leq x )$ ，可以理解为F（x）是 f（x）的积分

推论： $P(a\leqslant x \leqslant b)=F(b)-F(a)$

连续性随机变量的概率密度函数： $F(x)=P( X\leq x ) = \int_{-\infty }^{x}f(t) dt$ F（x）的连续性可以用来求参数

性质： $f(x)\geqslant 0$

$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$ ，（可以用来求参数）

2.2

随机变量的数学期望（均值）

离散： $EX=\sum_{i=1}^{\infty }x_{i}p_{i}$ 连续： $EX= \int_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$ ，要注意区间的划分

随机变量函数的数学期望

离散： $Eg(X)=\sum_{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i}$ 连续： $Eg(X)= \int_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$ ，要注意区间的划分

数学期望的性质

（常数稳定性） $Ea = a$ ，a为常数

（可线性组合） $E(a1g1(x)+a2g2(x))=a1E(g1(x))+a2E(g2(x))$

（可拆解性） $E(aX+b)=aEX+b$

随机变量的方差

$DX=E(X-EX)^{2}=EX^{2}-(EX)^{2}$

方差的性质

（常数稳定性） $Da=0$ $D(X+a)=DX$

（拆分平方性） $D(aX)=a^{2}DX$

推论： $D(aX+b)=a^{2}DX$

随机变量的矩

k阶原点矩： $EX^{k}$ k阶绝对矩： $E|X|^{k}$

k阶绝对中心矩： $E|X-EX|^{k}$

概率估计

$P(h(X)\geqslant \varepsilon )\leqslant \frac{Eh(X)}{\varepsilon }$

马尔可夫不等式： $P(|X|\geqslant \varepsilon )\leqslant \frac{E|X|^{k}}{\varepsilon ^{k}}$

切比雪夫不等式： $P(|X-EX|\geqslant \varepsilon )\leqslant \frac{DX}{\varepsilon ^{2}}$

That's all.后续将持续更新

——小汪_brit

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