神奇的三门问题，到底换不换门

熬夜无聊刷b站的时候刷到了一个有趣的视频，讲的是一个概率论问题【三门问题】，感觉很有意思，就记了下来。
这是原视频链接：神奇的三门问题

简单介绍下三门问题：现在有三扇门，两扇门后是山羊，一扇门后是跑车，随机选择一道门，如果门后是跑车，就中奖，否则就是没中奖。首先随机选择一道门，则此时中奖的概率是三分之一即33.33%；然后从剩下的两扇门中打开一道后面是山羊的门，此时就只剩下最后一扇既没有打开也没有被选择的门。这时你有一次换门的机会，可以重新选择最后一道门，也可以选择不换。

那么应该是选择换门呢，还是仍然选择之前选中的那扇门？在一般人的思维，换或不换中奖的概率都是一样的，都是二分之一50%，换门其实上没有多大的意义；然而正确的选择却超乎常人的想象，此时应该换门，换门中奖的概率高达66.6%，不换门中奖的概率只有33.3%，换门赢的概率几乎是不换门赢的概率的两倍。

首先是不换门赢的概率，很简单就是最开始的三选一33.3%，后面的打开一扇是山羊的门的操作对赢的概率没有任何影响，并不是打开之后的二选一，因为之后排除掉一个错误选项并不会影响之前的选择的概率。

然后是换门赢的概率，这个的逻辑有点绕，理解起来要从反面来思考。首先什么时候是必赢的呢？当然就是第三扇门就是正确的选择的时候，此时换门就赢；这也就意味着第一次选择的门必定是错误的时候换门必赢，因为第二扇错误的门已经被打开了，也就是说换门赢的概率取决于第一次选择时选错的概率，而第一次选择时选错的概率是多少呢？66.6%。

总结来说，换门不换门赢的概率取决于第一次选择选对或者选错的概率，不换门 -> 第一次选对 -> 33.3%，换门 -> 第一次选错 -> 66.6%。

口说无凭，代码来证，换门赢的概率确实大约是66.6%。

object ThreeDoor {private val doors: List<Int> = listOf(0, 1, 2)private var winAfterNoExchange: Int = 0private var winAfterExchange: Int = 0private const val gameTimes: Int = 100000fun run() {for (i in 0 until gameTimes) {runOnce()}println("total times: $gameTimes, win no exchange times: $winAfterNoExchange, winning probability: ${ (winAfterNoExchange.toFloat() / gameTimes) * 100}")println("total times: $gameTimes, win exchange times: $winAfterExchange, winning probability: ${ (winAfterExchange.toFloat() / gameTimes) * 100}")}private fun runOnce() {val correct = doors.random()val select = doors.random()val openSheep = doors.getSheep(correct, select)if (isWinNoExchange(correct, select, openSheep)) {winAfterNoExchange += 1}if (isWinExchange(correct, select, openSheep)) {winAfterExchange += 1}}private fun isWinNoExchange(correct: Int, select: Int, openSheep: Int): Boolean {return select == correct}private fun isWinExchange(correct: Int, select: Int, openSheep: Int): Boolean {val selectAfterExchange = doors.first {(it != select) && (it != openSheep)}return selectAfterExchange == correct}private fun List<Int>.getSheep(correct: Int, select: Int): Int {return this.filter {  (it != correct) && (it != select) }.random()}
}

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