欧氏空间距离和内积_欧氏空间的内积与线性变换

第 l5卷第3期 Vo1．15№ 3 露} ， j> 瀹大莘学报(自然学版 l S’ JOURNAL OF YUZHOU UNIVERSITY(Nat．Scien．Edit．) 1998车 9月 Sep．1998 @ f ( r 欧氏空间的内积与线性变换’ 塞竖移f 、 f (精州大学数学与计算机科学幕，重庆，4~ 33) 摘要获得了线性变换的一个等价条件 {利用内积或长度给出了欧氏空间的变换为线性变换的一系列充分条件{进而得到正交变换、对称变换、反对称变换及共轭变换的若干个充要条件．且推广了文[1～8]中的相关结果。关键词一欧氏空间I变换}线性变 015 换；内积 1．21 引理设 A是数域F上向量空间的变换．则 A为的线性变换的充耍条件是 V a， ∈ V．V ∈ 有 A(a+ )= + 妒证明必要性显然。充分性：由条件有朋 A(口+ (一 1)69 = 朋 + (一 1)朋：口所以 V口， ∈ V，V ∈ F 有 )一口+ )= 朋 + = 口+ 带 A(a+ )= A(口+ 1· ； + 1· = + 由线性变换的定义知tA为的线性变换．定理 1 设 A鼠为欧氏空问的变换，若V口， ∈V，有岛(T ，邵 )=n( ， + (口．,eie) 、 (n，， ∈ f 那么 (1)当 ≠ 0时，r为曲线性变换{ (2)当c ≠ 0时tA为的线性变换； (3)当 ≠ 0时，B为的线性变换。证明 (1)当白≠ 0时，令两= 百。，啦=c 。．则原等式化为t (Ta，7 ) 啦(^z， +毋(口，ae) 于是，V口， ∈ V，V ∈ R有 ( 口-t- )一Ta一邓，口-t-聊一Ta一盯劭 '． ( 口-t- ， -I-盯 ))一 ( 口-t- )．Ta)一 ( 口"-F )，邵 )一 (Ta，口+ ) + (n ITa)+ 敢? ，T 一 k(Ta，了口+焉 )+量(丁，Ta)4- (邛． = m(A(口-t- )，口-t- 邓f)+ 毋( -t- ，B(a+ )一 m( 口+ )，口)一一熏 - ·收到=日期，1998-07-15 一男 ·40岁，翻教授 ■●Tj ● 维普资讯 http://www.cqvip.com http://www.cqvip.com/ 2 渝州大学学报 (白赫科学版) 摹 15卷 a2 + ，＆ )一 kal(^(口+ 即)，卢)一概 (a+ ，邵 )一 al( ，口+ )一a2(a，B(a+ ))+ al( ，口)+ (a，印 )+ kal( ， )+ (口，邵 )一蛔 ( ， + 即)一 ka2( 联Oi+ ))+ ( ，d)+ 概 (卢，髓)+ k2al(邓，卢)+ 嘞( ，旦∞ ： 0 所以 T(a+ )一一盯 = 0 即 T(a+ )= Ta= 材故由引理知；丁为 y的线性变换 (2)当C1≠ 0时，夸 =c3i：i-，62=一 c2~i- ，则原等式化为：， ( ，卢)； (如，邛 )+ (口，印 ) 于是，V a， y∈ ，V ∈ R有 (A(口+ )一一 ^ 驴 " = ( 口+ ^ ，" 一 ( ，" 一 ( 啦，” = ． 6l(7 a+ )， 0 + (口+ ，，一 (T ，丁y)一 ( ，聊一硒 (邳，71y)一如 ( ，研 = ． ( 口+ )一 — kT#，丁y)+ ( ．，= 岛( =0 (由(1)h≠ p时。为的线性变换) 所以由y的任意性知： ^(珥+

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