一、定点数加法运算

[X]补+[X]补=[X+Y]补mod2n+1[X]_补 + [X]_补 = [X + Y]_补\ mod\ 2^{n + 1}[X]补+[X]补=[X+Y]补 mod 2n+1

算法理解
例1 已知 X=+10010X = + 10010X=+10010 Y=−10101Y = - 10101Y=−10101 求 X+YX + YX+Y
解：[X]补=010010[X]_补 = 0\ 10010[X]补=0 10010 [Y]补=101011\ \ [Y]_补 = 1\ 01011 [Y]补=1 01011
[X+Y]补=[X]补+[Y]补=010010+101011=111101[X + Y]_补 = [X]_补 + [Y]_补 = 0\ 10010 + 1\ 01011 = 1\ 11101[X+Y]补=[X]补+[Y]补=0 10010+1 01011=1 11101
所以：X+Y=−00011X + Y = - 00011X+Y=−00011

二、定点数减法运算

[X−Y]补=[X]补−[Y]补=[X]补+[−Y]补[X - Y]_补 = [X]_补 - [Y]_补 = [X]_补 + [-Y]_补[X−Y]补=[X]补−[Y]补=[X]补+[−Y]补

算法理解
例2 已知 [Y]补=10011[Y]_补 = 1\ 0011[Y]补=1 0011 求 [−Y]补[-Y]_补[−Y]补
解：[Y]补=10011[Y]_补 = 1\ 0011[Y]补=1 0011
∴Y=−1101−Y=1101\therefore\ Y = - 1101 \ \ \ \ \ -Y = 1101∴ Y=−1101 −Y=1101
∴[−Y]补=01101\therefore\ [-Y]_补 = 0\ 1101∴ [−Y]补=0 1101

对比 [Y]补=10011[Y]_补 = 1\ 0011[Y]补=1 0011，可知：
通过右向扫描 [Y]补[Y]_补[Y]补，在遇到数字 1 及之前，直接输出遇到的数字，遇到 1 之后，取反输出，即可得到 [−Y]补[-Y]_补[−Y]补，反之亦然！

例3 已知 X=+10101X = + 10101X=+10101 Y=+10010Y = + 10010Y=+10010 求 X−YX - YX−Y
解：[X]补=010101[X]_补 = 0\ 10101[X]补=0 10101，[Y]补=010010[Y]_补 = 0\ 10010[Y]补=0 10010，[−Y]补=101110[-Y]_补 = 1\ 01110[−Y]补=1 01110
[X+Y]补=[X]补+[−Y]补=010101+101110=1000011[X + Y]_补 = [X]_补 + [-Y]_补 = 0\ 10101 + 1\ 01110 = 1\ 0\ 00011[X+Y]补=[X]补+[−Y]补=0 10101+1 01110=1 0 00011
所以 X−Y=+00011X - Y = +00011X−Y=+00011

三、数溢出的概念及其判断方法

1、溢出的概念

运算结果超过了某种数据类型的表示范围。

例4 已知 X=+10010X = + 10010X=+10010 Y=+10101Y = + 10101Y=+10101 求 X+YX + YX+Y
解：[X]补=010010[X]_补 = 0\ 10010[X]补=0 10010 Y=010101Y = 0\ 10101Y=0 10101
[X+Y]补=[X]补+[Y]补=010010+010101=100111[X + Y]_补 = [X]_补 + [Y]_补 = 0\ 10010 + 0\ 10101 = 1\ 00111[X+Y]补=[X]补+[Y]补=0 10010+0 10101=1 00111
所以：X+Y=−11001X + Y = -11001X+Y=−11001
两个正数之和为负数！

例5 已知 X=−10010X = - 10010X=−10010 Y=−10101Y = - 10101Y=−10101 求 X+YX + YX+Y
解：[X]补=101110[X]_补 = 1\ 01110[X]补=1 01110 [Y]补=101011[Y]_补 = 1\ 01011[Y]补=1 01011
[X+Y]补=[X]补+[Y]补=101110+101011=[X + Y]_补 = [X]_补 + [Y]_补 = 1\ 01110 + 1\ 01011 =[X+Y]补=[X]补+[Y]补=1 01110+1 01011= 111 0110010\ 110010 11001
所以：X+Y=+11001X + Y = + 11001X+Y=+11001
两个负数之和为正数！

2、溢出的检测方法

溢出只可能发生在同符号数相加时，包括 [X]补[X]_补[X]补 [Y]补[Y]_补[Y]补；[X]补[X]_补[X]补与 [−Y][-Y][−Y] 同号；

（1）方法1：对操作数和运算结果的符号位进行检测
当结果的符号位与操作数的符号不相同时就表明发生了溢出（设 X0X_0X0 Y0Y_0Y0 为参加运算数的符号位，S0S_0S0 为结果的符号位）
V=X0Y0S0‾+X0‾Y0‾S0V = X_0\ Y_0\ \overline{S_0} + \overline{X_0}\ \overline{Y_0}\ S_0V=X0 Y0 S0+X0 Y0 S0
当 V=1V = 1V=1 时，运算结果溢出，根据该逻辑表达式，容易画出相应电路。

（2）方法2：对最高数据位进位和符号进位进行检测
设运算时最高数据位产生的进位为 C1C_1C1，符号位产生的进位为 C0C_0C0，溢出检测电路为：V=C0⨁C1V = C_0 \bigoplus C_1V=C0⨁C1
0.X1+0.Y10.X_1 + 0.Y_10.X1+0.Y1 此时：C0=0C_0 = 0C0=0，若 C1=1C_1 = 1C1=1 则改变了结果符号位，发生溢出。
1.X1+1.Y11.X_1 + 1.Y_11.X1+1.Y1 此时：C0=1C_0 = 1C0=1，若 C1=0C_1 = 0C1=0 则改变了结果符号位，发生溢出。

（3）方法3：用变型补码
[X]补=Xf1Xf2.X1X2X3…Xnmod2n+2[X]_补 = X_{f1}X_{f2}\ .\ X_1X_2X_3\ldots X_n mod \ 2^{n + 2}[X]补=Xf1Xf2 . X1X2X3…Xnmod 2n+2
溢出的判断：V=Xf1⨁Xf2V = X_{f1}\bigoplus X_{f2}V=Xf1⨁Xf2

例6 已知 X=−10010X = - 10010X=−10010 Y=−10101Y = - 10101Y=−10101 求 X+YX + YX+Y
解：[X]补=1101110[X]_补 = 11\ 01110[X]补=11 01110 [Y]补=1101011[Y]_补 = 11\ 01011[Y]补=11 01011
[X+Y]补=[X]补+[Y]补=1101110+1101011=[X + Y]_补 = [X]_补 + [Y]_补 = 11\ 01110 + 11\ 01011 =[X+Y]补=[X]补+[Y]补=11 01110+11 01011= 111 101010 110011100111001
V=1⨁0=1V = 1 \bigoplus 0 = 1V=1⨁0=1 故发生溢出！

上述三种方法可基于逻辑表达式画出相应电路，在后面的运算器部分，还将具体讲解。

（4）溢出判断的软件方法

int tadd_ok(int x, int y)
{int sum = x + y;int neg_over = x < 0 && y < 0 && sum >= 0;int pos_over = x >= 0 && y >= 0 && sum < 0;return !neg_over && !pos_over;
}

体会软/硬件功能的等效性和差异性！
体会软/硬件协同的系统观！

四、无符号数运算的溢出判断

1、无符号数加法的溢出可用 ALU 的进位表示；
2、无符号数减法的溢出也可用带加/减功能的 ALU 的进位取反后表示。

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