简述变分法在泛函极值问题中的应用
此文主要有两部分内容,一部分是泛函的一些基本概念;第二部分是变分法在研究泛函极值问题中的应用。
第一部分 泛函
泛函是函数概念的一种扩充,函数描述的是从数到数的对应关系,从自变量到因变量的一种对应关系;而泛函描述的是函数到数的一种映射关系。
定义:对于某一类函数集合中的每一个函数,都存在一个确定的数与之对应,那么就称为依赖于函数的泛函,记为
简记为J,相应的自变量函数称为宗量。
注意:宗量是某一特定函数的整体,而不是对应于某一自变量的函数值;宗量属于的函数类称为容许函数类或者容许函数空间。
线性泛函满足可叠加性和齐次性。
泛函极值问题则是,在容许函数类中求使得泛函达到极值的函数。
第二部分 变分法在研究泛函极值问题中的应用
在介绍变分法之前,我们先给出函数微分的定义,如下
若函数具有连续的导数,则它的增量可以表示如下
其中是的线性函数;是的高阶无穷小量。
当充分小时,起主要作用,为函数增量的线性主部,也称为函数的微分,记为
。
泛函宗量的变分是指同一函数类中两个函数之差,记为
。
若连续泛函的增量可以表示为
其中为的线性连续泛函,为的高阶无穷小。记为
。
上式可类比函数微分是函数增量的线性主部一样,泛函的变分是泛函增量的线性主部,所以泛函的变分也称为泛函的微分。
引理1:泛函的变分为
。
定理1:若可微泛函在上达到极小(极大)值,则在上有
。
泛函的变分实际上就是关于其宗量变分的线性连续泛函,因此,可以通过求泛函对其所有宗量的一阶偏微分得到泛函的变分。
泛函的变分为
。
变分法解决的三种问题:
- 拉格朗日问题
从容许函数类中求某一函数,使得积分型泛函
取极小值问题。
- 迈耶尔(Mayer)问题
末值型泛函
取极小值问题。
- 波尔扎问题
复合型泛函
取极小值的变分问题。
定理2:如果函数在区间上连续,而且对于只满足某些一般条件的任意选定函数,有
则有
。
拉格朗日问题
考虑如下积分型的拉格朗日泛函极值问题:
其中,至少是的二次可微函数,是变量,和的连续函数,并且有二阶连续偏导数。
假设1:曲线的端点时间和是固定的,且满足如下边界条件
,
其中,,和为泛函的宗量,为积分变量。
利用泛函对其所有宗量进行一阶变分,为
其中。
由于,因此
。
根据定理2,可以得到极值条件
将左边第二项展开,可得
也可以简记为。
上式可以称为欧拉方程。欧拉方程的积分曲线称为极值曲线。
- 只有在极值曲线上泛函才能达到极小(极大)值。
- 对于两个端点固定的情况,正好可以用两个边界条件和,将积分常数和固定起来。
假设2:假定容许函数的始端给定,末端可变,并假定沿着曲线变化,寻找一条连续可微的极值曲线,使性能指标泛函
达到极值。
在该问题中,,,和为泛函的宗量,为积分变量,为求得该泛函极值问题,引入拉格朗日乘子,并重新定义泛函为
对其所有宗量进行一阶变分,为
由于固定,所以有和,因此
其中和称为横截条件;称为边界条件。
求解欧拉方程需要求解上述横截条件,由此可以求得欧拉方程中的通解中的积分常数和终端状态和。
扩展:多个宗量函数的泛函极值问题
问题描述:寻找一条连续可微的极值曲线使得性能泛函
达到极值,该极值曲线的边界条件,和为维宗量向量函数。
扩展问题在此不再给出求解,可类比一维宗量的计算方法,求解时注意矩阵的微分。
简述变分法在泛函极值问题中的应用相关推荐
- 2019-10-14 无约束条件的泛函极值问题的举例说明
概念说明 泛函:存在函数x(t)x(t)x(t),同时另一函数JJJ依赖于函数x(t)x(t)x(t),表示为J(x)J(x)J(x),就称J(x)J(x)J(x)为x(t)x(t)x(t)的泛函. ...
- 优化控制理论学习笔记——从“狄多女王的问题”到使用变分法进行泛函求解
文章目录 引子 泛函介绍 求解方法 Lagrangian formalism Hamiltonian formalism (Pontryagain principle) 总结 引子 古罗马诗人维吉尔( ...
- 自然语言处理︱简述四大类文本分析中的“词向量”(文本词特征提取)
笔者在看各种NLP的论文.文献.博客之中发现在应用过程中,有种类繁多的词向量的表达.笔者举例所看到的词向量有哪些. 词向量一般被看做是文档的特征,不同词向量有不同的用法,本文介绍了四类词向量: Has ...
- 【视频教程】012.简述with在文件处理中的作用
导语 你千万别跟任何人谈任何事情.你只要一谈起,就会想念起每一个人来,我只知道我很想念我所谈到的每一个人. --J·D·塞林格<麦田里的守望者> 友情提示:点击阅读原文可以进入B站查看本视 ...
- 简述计算机在材料学中的应用,计算机在材料学中的应用
书本考试重点噢 1.什么是材料设计?材料设计的包括哪几个层次? 答:材料设计的思想源自于上世纪50年代,是指通过理论分析与计算预报新材料的组分.结构及性能,进而通过理论设计来"定做" ...
- 简述java在安卓开发中的应用_Java 自定义注解在安卓开发中的简单运用
定义:注解(Annotation),也叫元数据.一种代码级别的说明.它是JDK1.5及以后版本引入的一个特性,与类.接口.枚举是在同一个层次.它可以声明在包.类.接口.枚举.字段.方法.局部变量.方法 ...
- 简述数据在OSI参考模型中的流动过程及过程中数据的单位
关于数据在网络中的传输,为了简单易懂一点,我们举例说明. 假设A向B发送了一封电子邮件,电子邮件协议有SMTP.POP3等. 因此主机A会使用smtp协议来处理该数据,即在数据前加上SMTP的标记,以 ...
- 简述python在量化金融中应用_Python金融与量化投资分析应用
{getUnitName} {getLessonName} 敬请期待 免费 {getTaskName} 剩余观看时长:{watchLimitRemaining} 回放 {activityStartTi ...
- 简述计算机视觉在各领域中的成功应用,计算机视觉技术在茶叶领域中的应用现状及展望...
[1] 徐金玉. 展望中国茶业新形势[N]. 人民政协报, 2017-02-24(11). [2] 梅宇. 2016年中国茶业经济形势简报[J]. 茶世界, 2017(2): 14-18. [3] 潘 ...
- 简述python在量化金融中应用_Python金融量化
Python股票数据分析 最近在学习基于python的股票数据分析,其中主要用到了tushare和seaborn.tushare是一款财经类数据接口包,国内的股票数据还是比较全的 官网地址:http: ...
最新文章
- Microsoft COCO 数据集
- 为什么要Zipkin
- exi 虚拟服务器,图文教程:如何在ESXi主机上部署VMware Tools 10
- 服务核心 - 工具类
- django18:auth模块
- 论文浅尝 | KGAT: 用于推荐的知识图注意力网络
- 关于c语言编写 单项链表 的创建、插入、修改、删除、显示、退出 的程序案例
- 与同步传递相关的获取-释放序列
- [转载]利用TTL值来鉴别操作系统
- linux脚本运行出现bc,Linux硬件管理命令---bc
- 关于google拼音输入法的坑爹问题-IE浏览器浏览网页蓝屏等问题
- 【评价模型】熵权法和模糊评价模型
- KAIOS软件下载-自己做的
- 计算机基础考试在线搜题,计算机基础考试题库 (含答案).doc
- ftp免费空间,1种适合小白级别的搭建ftp免费空间的方法
- SDUT 第十届校赛H menhera酱那惨不忍睹的数学 (二分图匹配)
- 树莓派开机启动chromium浏览器
- python短信验证码登录_Python实现短信验证
- STC12C5A60S2
- domoticz添加和风天气与彩云天气
热门文章
- 笔记本电脑 编程_如何选择笔记本电脑进行编程
- 2021金三银四Java面试突击集锦
- 微信小程序搜索wifi列表
- 的计算机基本操作知识,电脑的基本操作知识有哪些
- 实战例子:Solidity代码小失误导致池子里60万U被盗空
- windows内核开发笔记二:错误信息处理
- 15年学不会英语的原因
- 少儿编程微课程10:使用画笔绘制正六边形
- 域名被QQ和微信拦截?域名红了无法推广教你一段代码搞定!
- 【图像去模糊】SDWNet: A Straight Dilated Network with Wavelet Transformation for image Deblurring