最近在研究SAR成像算法时，需要用到Frequency Scaling算法，看了一段时间的资料，将FS算法做一个总结，有不到之处欢迎大家批评指正。
代码实现部分可以参考我的GitHub：

https://github.com/Huang-Zh-club/Frequency-Scaling

频率变标算法（FSA）

1.FS算法与CS算法的区别
2.FS算法
- 2.1解线频调
- 2.2 FS算法
附录（公式推导）
参考书籍：

1.FS算法与CS算法的区别

首先，接触FS算法时一般都已经接触了CS算法和RD算法，RD算法在距离徙动校正时需要插值，与CS和FS算法差异较大，这里不深究。那么CSA与FSA都是用到了在频域（波数域）进行相乘以变标，那么其差别和联系在哪里呢？
无论是CSA或者FSA其本质都是要完成距离徙动校正来实现聚焦，只不过实现方式不同，我认为其差别体现在以下几个方面：

CSA处理的信号需要时线性调频的；而FSA处理的信号则不要求是线性调频的，而是经过解线性频调的回波
CSA在频域（多普勒频域以及二维频域）进行相位补偿操作；FSA则在波数域进行相位补偿操作
所以CSA将RCMC分为补余RCMC和一致RCMC，在完成补余RCMC之后，不同距离的RCM变成一致，而后再进行一致RCMC、距离压缩和方位压缩等等；而FSA则通过变标操作使得不同距离的RCM一致，而后在波数域进行RCM校正、SRC和方位压缩等等

由于由频率调制实现的变标或者平移不能太大，否则会引起不利的信号中心频率和带宽改变。所以两种算法的RCMC都分了两步进行

2.FS算法

FS算法是一种改进的线频调变标算法，该算法不要求信号在距离上是线性调频的，而是直接处理距离解线频调后的 SAR 数据。
以下用到的仿真参数设置如下

2.1解线频调

解线频调利用LFM信号的特征，用时间固定，频率和调频率相同的LFM信号作为参考信号，用它和回波做差频处理，也是一种脉冲压缩的方式。
发射LFM信号为
s(t^,tm)=rect(t^Tp)exp⁡(j2π(fct^+12γt^2))s\left( {\hat t,{t_m}} \right) = {\mathop{\rm rect}\nolimits} \left( {\frac{{\hat t}}{{{T_p}}}} \right)\exp \left( {j2\pi \left( {{f_c}\hat t + \frac{1}{2}\gamma {{\hat t}^2}} \right)} \right)s(t^,tm)=rect(Tpt^)exp(j2π(fct^+21γt^2))

其中，tmt_{m}tm为慢时间（包含在斜距历程中）,t^\hat tt^为快时间,fcf_{c}fc为中心频率，γ\gammaγ为调频率,TpT_{p}Tp为脉宽。
则经过目标反射，回波信号为
sr(t^,tm)=Arect(t^−2Rt/cTp)exp⁡(j2π(fc(t^−2Rtc)+12γ(t^−2Rtc)2)){s_r}\left( {\hat t,{t_m}} \right) = {\mathop{\rm Arect}\nolimits} \left( {\frac{{\hat t - 2{R_t}/c}}{{{T_p}}}} \right)\exp \left( {j2\pi \left( {{f_c}\left( {\hat t - \frac{{2{R_t}}}{c}} \right) + \frac{1}{2}\gamma {{\left( {\hat t - \frac{{2{R_t}}}{c}} \right)}^2}} \right)} \right)sr(t^,tm)=Arect(Tpt^−2Rt/c)exp(j2π(fc(t^−c2Rt)+21γ(t^−c2Rt)2))

参考距离为RrefR_{ref}Rref,则参考信号为
sr(t^,tm)=Arect(t^−2Rref/cTp)exp⁡(j2π(fc(t^−2Rrefc)+12γ(t^−2Rrefc)2)){s_r}\left( {\hat t,{t_m}} \right) = {\mathop{\rm Arect}\nolimits} \left( {\frac{{\hat t - 2{R_{ref}}/c}}{{{T_p}}}} \right)\exp \left( {j2\pi \left( {{f_c}\left( {\hat t - \frac{{2{R_{ref}}}}{c}} \right) + \frac{1}{2}\gamma {{\left( {\hat t - \frac{{2{R_{ref}}}}{c}} \right)}^2}} \right)} \right)sr(t^,tm)=Arect(Tpt^−2Rref/c)exp(j2π(fc(t^−c2Rref)+21γ(t^−c2Rref)2))

则解线频调就是将回波信号与参考信号的共轭相乘，
sif(t^,tm)=sr(t^,tm)⋅sref∗(t^,tm){s_{if}}\left( {\hat t,{t_m}} \right) = {s_r}\left( {\hat t,{t_m}} \right) \cdot s_{ref}^*\left( {\hat t,{t_m}} \right)sif(t^,tm)=sr(t^,tm)⋅sref∗(t^,tm)

则解线频调之后的信号即
sif(t^,tm)=Arect(t^−2Rt/cTp)exp⁡(−j4πcγ(t^−2Rrefc)RΔ)exp⁡(−j4πcfcRΔ)exp⁡(j4πγc2RΔ2){s_{if}}\left( {\hat t,{t_m}} \right) = {\mathop{\rm Arect}\nolimits} \left( {\frac{{\hat t - 2{R_t}/c}}{{{T_p}}}} \right)\exp \left( { - j\frac{{4\pi }}{c}\gamma \left( {\hat t - \frac{{2{R_{ref}}}}{c}} \right){R_\Delta }} \right)\\ \exp \left( { - j\frac{{4\pi }}{c}{f_c}{R_\Delta }} \right)\exp \left( {j\frac{{4\pi \gamma }}{{{c^2}}}R_\Delta ^2} \right)sif(t^,tm)=Arect(Tpt^−2Rt/c)exp(−jc4πγ(t^−c2Rref)RΔ)exp(−jc4πfcRΔ)exp(jc24πγRΔ2)

其中RΔ=Rt−Rref{R_\Delta } = {R_t} - {R_{ref}}RΔ=Rt−Rref，可以看出在一个信号周期里，即距离差为定值，则差频处理后的信号变成了单频信号，差频输出的信号频率为

f=2γRΔ/cf=2 \gamma R_{\Delta}/cf=2γRΔ/c

差频后的时间轴也不再表示距离信息，这时的时间轴与频谱频率的关系为
f=fc+γτf=f_c+\gamma \tauf=fc+γτ

由于时间和频率轴的含义发生了变化，因而也叫‘时频变换’。
这里借用参考书籍中的解线频调的示意图来说明这一过程

对于图（a）,我们的发射信号是LFM，所以发射信号频率是关于时间的线性函数，并且调制到载频上所以信号的中心频率是fcf_cfc，不同距离处的回波的时间延迟是不同的，所以图示的远距离回波、场景中心回波、近距离回波在时间轴上的位置不同。在一个信号周期里，快时间认为是定值，解调差频输出的信号频率为2γRΔ/c2 \gamma R_{\Delta}/c2γRΔ/c ，对于某一个距离该值也是常数，所以图（b）的回波是平行于横轴的。

下面是对一个点目标的回波仿真结果，回波数据即已经解线频调后的回波（是一个Na*Nr的矩阵），然后抽取一行方位向数据，根据相位表达式，方位向时刻确定，信号相位是关于快时间的线性函数；抽取一列距离向数据，根据相位表达式，距离向向时刻确定，是关于慢时间的二次函数，所以中间震荡慢，两边震荡快。

2.2 FS算法

解线频调后的信号为
s(Xa,τ)=σrec⁡t[Xa−XacL]⋅rect⁡[τ−2c(Rt−Rref)Tp]⋅exp⁡[jΦ(Xa,τ)]Φ(Xa,τ)=−4π⋅γc⋅τ⋅(Rt−Rref)+4π⋅γc2⋅(Rt−Rref)2−4π⋅fcc⋅(Rt−Rref)\begin{array}{l} s\left(X_{a}, \tau\right)=\sigma \operatorname{rec} t\left[\frac{X_{a}-X_{a c}}{L}\right] \cdot \operatorname{rect}\left[\frac{\tau-\frac{2}{c}\left(R_{t}-R_{r e f}\right)}{T_{p}}\right] \cdot \exp \left[j \Phi\left(X_{a}, \tau\right)\right] \\ \Phi\left(X_{a}, \tau\right)=-\frac{4 \pi \cdot \gamma}{c} \cdot \tau \cdot\left(R_{t}-R_{r e f}\right)+\frac{4 \pi \cdot \gamma}{c^{2}} \cdot\left(R_{t}-R_{r e f}\right)^{2}\\ -\frac{4 \pi \cdot f_{c}}{c} \cdot\left(R_{t}-R_{r e f}\right) \end{array}s(Xa,τ)=σrect[LXa−Xac]⋅rect[Tpτ−c2(Rt−Rref)]⋅exp[jΦ(Xa,τ)]Φ(Xa,τ)=−c4π⋅γ⋅τ⋅(Rt−Rref)+c24π⋅γ⋅(Rt−Rref)2−c4π⋅fc⋅(Rt−Rref)

XaX_aXa和XacX_{ac}Xac分别为信号方位位置和孔径中心位置， τ\tauτ为距离时间（这里的τ=t^−2Rref/2Rrefcc\tau {\rm{ = }}\hat t - {{2{R_{ref}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{R_{ref}}} c}} \right.} c}τ=t^−2Rref/2Rrefcc,即改变波束中心），γ\gammaγ为线性调频率，RrefR_{ref}Rref 为参考距离。第一项和第三项为有用信息，分别用于距离分辨和方位分辨，第二项为剩余视频相位（RVP），实际处理中需要消除。其中瞬时斜距为

Rt=(Xa−x0)2+RB2{R_t} = \sqrt {{{\left( {{X_a} - {x_0}} \right)}^2} + R_B^2} Rt=(Xa−x0)2+RB2

大时间带宽条件下，s(Xa,τ)s(X_a,\tau)s(Xa,τ)可以表示为参看附录证明1

s(Xa,τ)={A⋅exp⁡[j4πγc⋅(fcγ+τ)⋅(Rref−Rt)]}⊗exp⁡[−jπγτ2]A(Xa,τ)=C⋅rect⁡[Xa−XacL]⋅rec⁡t[τTp]\begin{array}{l} s\left(X_{a}, \tau\right)=\left\{A \cdot \exp \left[j \frac{4 \pi \gamma}{c} \cdot\left(\frac{f_{c}}{\gamma}+\tau\right) \cdot\left(R_{r e f}-R_{t}\right)\right]\right\} \otimes \exp \left[-j \pi \gamma \tau^{2}\right] \\ A\left(X_{a}, \tau\right)=C \cdot \operatorname{rect}\left[\frac{X_{a}-X_{a c}}{L}\right] \cdot \operatorname{rec} t\left[\frac{\tau}{T_{p}}\right] \end{array}s(Xa,τ)={A⋅exp[jc4πγ⋅(γfc+τ)⋅(Rref−Rt)]}⊗exp[−jπγτ2]A(Xa,τ)=C⋅rect[LXa−Xac]⋅rect[Tpτ]

即信号可以表示成有用部分和剩余相位的卷积。在未进行解线频调之前表示都是用时间表示距离，但是解线频调信号去斜后的基频回波用频率差值表示距离，所以解线频调又称为‘时频变换’。
在解线性频调之前可以知道，不同场景目标处的回波的时延2Rt(t)/c2{R_t}\left( t \right)/c2Rt(t)/c不同，在距离时间轴上看起来，不同目标的回波中心不同，也就是‘斜的’；再将信号表示成(8)之后，信号的卷积符号前的部分τ=t^−2Rref/2Rrefcc\tau {\rm{ = }}\hat t - {{2{R_{ref}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{R_{ref}}} c}} \right.} c}τ=t^−2Rref/2Rrefcc，也就是中心全都在同样的距离位置，所以卷积符号后边部分相当于对信号完成了‘置斜’操作，而将信号表示成卷积的形式就是为了便于‘去斜’。

变标操作

由于FS是在波数域进行的，首先做变量替换把距离时间域转化为距离波数域

KRc=4πfccΔKR=4πγτcKR=KRc+ΔKRb=8πγc2\begin{array}{c} K_{R c}=\frac{4 \pi f_{c}}{c} \\ \Delta K_{R}=\frac{4 \pi \gamma \tau}{c} \\ K_{R}=K_{R c}+\Delta K_{R} \\ b=\frac{8 \pi \gamma}{c^{2}} \end{array}KRc=c4πfcΔKR=c4πγτKR=KRc+ΔKRb=c28πγ

注意，这里仅仅做了变量替换，在代码中信号还是原来的信号，只不过表示形式在推导公式时有变化，则信号可以表示成

s(Xa,ΔKR)={A⋅exp⁡[−jKR(Rt−Rref)]}⊗exp⁡[−jΔKR22b]A(Xa,ΔKR)=C⋅rect⁡[Xa−XacL]⋅rec⁡[2ΔKRbcTp]\begin{array}{l} s\left(X_{a}, \Delta K_{R}\right)=\left\{A \cdot \exp \left[-j K_{R}\left(R_{t}-R_{r e f}\right)\right]\right\} \otimes \exp \left[-j \frac{\Delta K_{R}^{2}}{2 b}\right] \\ A\left(X_{a}, \Delta K_{R}\right)=C \cdot \operatorname{rect}\left[\frac{X_{a}-X_{a c}}{L}\right] \cdot \operatorname{rec}\left[\frac{2 \Delta K_{R}}{b c T_{p}}\right] \end{array}s(Xa,ΔKR)={A⋅exp[−jKR(Rt−Rref)]}⊗exp[−j2bΔKR2]A(Xa,ΔKR)=C⋅rect[LXa−Xac]⋅rec[bcTp2ΔKR]

做方位向傅里叶变换将信号变换到二维波数域参看附录证明2

∫Aexp⁡[−jKR((X−x0)2+RB2−Rref)]exp⁡(−jKXX)dX\int {A\exp \left[ { - j{K_R}\left( {\sqrt {{{\left( {X - {x_0}} \right)}^2} + {R_B}^2} - {R_{ref}}} \right)} \right]} \exp \left( { - j{K_X}X} \right)dX∫Aexp[−jKR((X−x0)2+RB2−Rref)]exp(−jKXX)dX

得到信号二维波数域解析式

S(KX,ΔKR)={A⋅exp⁡[jKRRref]⋅exp⁡[−jKR2−Kx2RB−jKXx0]}⊗exp⁡[−jΔKR22b]S\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \left\{ {A \cdot \exp \left[ {j{K_R}{R_{ref}}} \right] \cdot \exp \left[ { - j\sqrt {{K_R}^2 - {K_x}^2} {R_B} - j{K_X}{x_0}} \right]} \right\} \otimes \exp \left[ { - j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}} \right]S(KX,ΔKR)={A⋅exp[jKRRref]⋅exp[−jKR2−Kx2RB−jKXx0]}⊗exp[−j2bΔKR2]

做近似得到，参看附录

S(KX,ΔKR)={A⋅exp⁡[−j(RBAX−Rref)ΔKR]⋅exp⁡(jKRcRref)⋅exp⁡[−jAXKRcRB−jKXx0]⋅exp⁡[jRBKX22KRc3AX3ΔKR2]⋅exp⁡[−jRBKX22KRc4AX5ΔKR3]}⊗exp⁡[−jΔKR22b]A(KX,ΔKR)=C⋅rect[KXRBLKR2−KX2+Xac−x0L]⋅rect[2ΔKRbcTp]AX=1−(KXKRc)2\begin{array}{c} S\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \exp \left[ { - j\left( {\frac{{{R_B}}}{{{A_X}}} - {R_{ref}}} \right)\Delta {K_R}} \right] \cdot \exp \left( {j{K_{Rc}}{R_{ref}}} \right)\\ \cdot \exp \left[ { - j{A_X}{K_{Rc}}{R_B} - j{K_X}{x_0}} \right] \cdot \exp \left[ {j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3A_X^3}}\Delta K_R^2} \right]\\ \cdot \exp \left[ { - j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^5}}\Delta K_R^3} \right] \end{array} \right\}\\ \otimes \exp \left[ { - j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}} \right]\\ A\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = C \cdot {\mathop{\rm rect}\nolimits} \left[ {\frac{{{K_X}{R_B}}}{{L\sqrt {K_R^2 - K_X^2} }} + \frac{{{X_{ac}} - {x_0}}}{L}} \right] \cdot {\mathop{\rm rect}\nolimits} \left[ {\frac{{2\Delta {K_R}}}{{bc{T_p}}}} \right]\\ {A_X} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{K_X}}}{{{K_{Rc}}}}} \right)}^2}} \end{array}S(KX,ΔKR)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧A⋅exp[−j(AXRB−Rref)ΔKR]⋅exp(jKRcRref)⋅exp[−jAXKRcRB−jKXx0]⋅exp[j2KRc3AX3RBKX2ΔKR2]⋅exp[−j2KRc4AX5RBKX2ΔKR3]⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫⊗exp[−j2bΔKR2]A(KX,ΔKR)=C⋅rect[LKR2−KX2KXRB+LXac−x0]⋅rect[bcTp2ΔKR]AX=1−(KRcKX)2

参看附录证明3这里的AXA_XAX其实就是CS算法中的徙动因子。FSA通过在二维波数域乘以线性调频函数使得距离波数展缩一定的倍数。可以看出，二维波数域中ΔKR\Delta {K_R}ΔKR的一次项系数为Rref−RB/RBAXAX{R_{ref}} - {{{R_B}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{R_B}} {{A_X}}}} \right.} {{A_X}}}Rref−RB/RBAXAX，即不同斜距的距离徙动不同，为了消除这一现象，可以让一次项系数进行展缩，使得其中的AXA_XAX消除，这样不同距离的RCM就一致了。并且斜视角越大，AXA_XAX（瞬时斜视角的余弦值）越小，即距离波数展宽越大，为了使展宽后波数仍在处理带宽内，引入一个实数α\alphaα，使得AXαA_X \alphaAXα尽量接近于1。一些文献是没有这个实数的，处理的时候根据参数设置具体分析

下图展示了三个不同距离的目标回波的距离徙动曲线，变标就是为了把近距以及远距的徙动曲线从虚线校正到实线位置，而参考位置的距离徙动也是一条曲线，就对应了AXA_XAX是随着方位波数变化的。

变标函数为

HFS(KX,ΔKR)=exp⁡[jΔKR22b(1−αAX)]{H_{FS}}\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \exp \left[ {j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}\left( {1 - \alpha {A_X}} \right)} \right]HFS(KX,ΔKR)=exp[j2bΔKR2(1−αAX)]

乘以变标函数后经过一定的变换，点目标的回波信号为，推导参见附录4

S1(KX,ΔKR)={A1exp⁡[jα(AXRref−RB)ΔKR+jα2RBKX22KRc3AXΔKR2]⋅exp⁡[jKRCRref]⋅exp⁡[jαAXΔKR22b(1−αAX)]⋅exp⁡[−jAXKRCRB−jKXx0]⋅exp⁡[−jα3RBKX22KRc4AX2ΔKR3]}⊗exp⁡[−jαAXΔKR22b]\begin{array}{c} {S_1}\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \left\{ {{A_1}\exp \left[ {j\alpha \left( {{A_X}{R_{ref}} - {R_B}} \right)\Delta {K_R} + j\frac{{{\alpha ^2}{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3{A_X}}}\Delta K_R^2} \right]} \right.\\ \cdot \exp \left[ {j{K_{RC}}{R_{ref}}} \right] \cdot \exp \left[ {j\frac{{\alpha {A_X}\Delta K_R^2}}{{2b}}\left( {1 - \alpha {A_X}} \right)} \right]\\ \cdot \exp \left[ { - j{A_X}{K_{RC}}{R_B} - j{K_X}{x_0}} \right]\left. { \cdot \exp \left[ { - j\frac{{{\alpha ^3}{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^2}}\Delta K_R^3} \right]} \right\}\\ \otimes \exp \left[ { - j\frac{{\alpha {A_X}\Delta K_R^2}}{{2b}}} \right] \end{array}S1(KX,ΔKR)={A1exp[jα(AXRref−RB)ΔKR+j2KRc3AXα2RBKX2ΔKR2]⋅exp[jKRCRref]⋅exp[j2bαAXΔKR2(1−αAX)]⋅exp[−jAXKRCRB−jKXx0]⋅exp[−j2KRc4AX2α3RBKX2ΔKR3]}⊗exp[−j2bαAXΔKR2]

其中A1=C⋅A(KX,αAXΔKR){A_1} = C \cdot A\left( {{K_X},\alpha {A_X}\Delta {K_R}} \right)A1=C⋅A(KX,αAXΔKR)，这里可以看到一次项系数发生了改变AXRref−RB{A_X}{R_{ref}} - {R_B}AXRref−RB，即这时的参考位置可以看成为AXRrefA_X R_{ref}AXRref。

在距离波数域的卷积即是距离域的相乘，所以对变标后的信号作距离逆傅里叶变换，剩余视频相位去除通过乘以距离参考函数参见附录证明5

HRVPC(KX,YS)=exp⁡[−jbYS22αAX]{H_{RVPC}}\left( {{K_X},{Y_S}} \right) = \exp \left[ { - j\frac{{bY_S^2}}{{2\alpha {A_X}}}} \right]HRVPC(KX,YS)=exp[−j2αAXbYS2]

这时，二维波数域的信号形式即前面中卷积符号前的形式，即完成了‘去斜操作’。对比变标前后的信号形式可知变标操作引入了新的关于ΔKR\Delta K_RΔKR的二次相位误差，应该在后续操作前予以去除（在哪个域引入的就在那个域去除），对信号做距离傅里叶变换，在二维波数域乘以参考函数

HIFS(KX,ΔKR)=exp⁡[jαAXΔKR22b(αAX−1)]{H_{IFS}}\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \exp \left[ {j\frac{{\alpha {A_X}\Delta K_R^2}}{{2b}}\left( {\alpha {A_X} - 1} \right)} \right]HIFS(KX,ΔKR)=exp[j2bαAXΔKR2(αAX−1)]

这相当于逆变标的过程。

距离徙动校正及压缩

完成变标操作之后，这时不同距离点目标回波的距离弯曲相等。这时信号的二维波数域为

S1(KX,ΔKR)={A1exp⁡[jα(AXRref−RB)ΔKR+jα2RBKX22KRc3AXΔKR2]⋅exp⁡[−jAXKRCRB−jKxx0]⋅exp⁡[−jα3RBKX22KRc4AX2ΔKR3]}\begin{array}{c} {S_1}\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \left\{ {{A_1}\exp \left[ {j\alpha \left( {{A_X}{R_{ref}} - {R_B}} \right)\Delta {K_R} + j\frac{{{\alpha ^2}{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3{A_X}}}\Delta K_R^2} \right]} \right.\\ \cdot \exp \left[ { - j{A_X}{K_{RC}}{R_B} - j{K_x}{x_0}} \right]\left. { \cdot \exp \left[ { - j\frac{{{\alpha ^3}{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^2}}\Delta K_R^3} \right]} \right\} \end{array}S1(KX,ΔKR)={A1exp[jα(AXRref−RB)ΔKR+j2KRc3AXα2RBKX2ΔKR2]⋅exp[−jAXKRCRB−jKxx0]⋅exp[−j2KRc4AX2α3RBKX2ΔKR3]}

在二维波数域乘以线性相位函数对距离徙动进行校正

HRMC(KX,ΔKR)=exp⁡[jαAXRrefΔKR−jαRsΔKR]{H_{RMC}}\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \exp \left[ {j\alpha {A_X}{R_{ref}}\Delta {K_R} - j\alpha {R_s}\Delta {K_R}} \right]HRMC(KX,ΔKR)=exp[jαAXRrefΔKR−jαRsΔKR]

其中RsR_sRs为天线与场景中心的最近距离。二次距离压缩

HSRC(KX,ΔKR)=exp⁡[−jα2RBKX22KRc3AXΔKR2]⋅exp⁡[jα3RBKX22KRc4AX2ΔKR3]{H_{SRC}}\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \exp \left[ { - j\frac{{{\alpha ^2}{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3{A_X}}}\Delta K_R^2} \right] \cdot \exp \left[ {j\frac{{{\alpha ^3}{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^2}}\Delta K_R^3} \right]HSRC(KX,ΔKR)=exp[−j2KRc3AXα2RBKX2ΔKR2]⋅exp[j2KRc4AX2α3RBKX2ΔKR3]

进行距离向傅里叶逆变换完成距离压缩之后，乘以匹配函数进行方位压缩

HAS(KX,Ys)=exp⁡[jKRcAXRB]{H_{AS}}\left( {{K_X},{Y_s}} \right) = \exp \left[ {j{K_{Rc}}{A_X}{R_B}} \right]HAS(KX,Ys)=exp[jKRcAXRB]

最后做方位向傅里叶逆变换得到时域解析形式。

整个FSA的流程框图如下图所示。

注意：编程问题，方位波数的范围以及采样间隔怎么设置？可以从波数的定义来考虑。振荡频率fcf_cfc的单频平面波（角频率为ωc=2πfc{\omega _c} = 2\pi {f_c}ωc=2πfc）沿着lll方向传播，其时空表达式为σej(ωct−Kl)\sigma {e^{j\left( {{\omega _c}t - Kl} \right)}}σej(ωct−Kl)，振幅为常数，相位ψ(t,l)=ωct−Kl\psi \left( {t,l} \right) = {\omega _c}t - Klψ(t,l)=ωct−Kl，KKK其中称为波数或者空间（角）频率，ωc=∂ψ∂t{\omega _c} = \frac{{\partial \psi }}{{\partial t}}ωc=∂t∂ψ,K=−∂ψ∂lK = - \frac{{\partial \psi }}{{\partial l}}K=−∂l∂ψ ，电磁波传输速度c=∂l∂t=∂l∂ψ∂ψ∂t=ωcKc = \frac{{\partial l}}{{\partial t}}{\rm{ = }}\frac{{\partial l}}{{\partial \psi }}\frac{{\partial \psi }}{{\partial t}}{\rm{ = }}\frac{{{\omega _c}}}{K}c=∂t∂l=∂ψ∂l∂t∂ψ=Kωc即K=ωcc=2πfcc=2πλK = \frac{{{\omega _c}}}{c} = \frac{{2\pi {f_c}}}{c}{\rm{ = }}\frac{{2\pi }}{\lambda }K=cωc=c2πfc=λ2π 。
距离波数的定义是这里的2倍ΔKR=22πγτc\Delta {K_R} = 2\frac{{2\pi \gamma \tau }}{c}ΔKR=2c2πγτ，是为了方便处理。
那么在方位向，运动是传感器引起的，速度即是传感器的速度，则波数ka=2πfa/2πfaVV{k_a} = {{2\pi {f_a}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {f_a}} V}} \right.} V}ka=2πfa/2πfaVV。

对点目标进行仿真，仿真结果如下

从最后的成像结果可以看出聚焦效果良好，完成了成像。

附录（公式推导）

1.卷积的证明
卷积公式为
y(t)=x(t)⊗h(t)=∫h(τ)x(t−τ)dτy\left( t \right) = x\left( t \right) \otimes h\left( t \right) = \int {h\left( \tau \right)x\left( {t - \tau } \right)} d\tauy(t)=x(t)⊗h(t)=∫h(τ)x(t−τ)dτ

欲证明信号可以表示成卷积的形式，只需要计算下式卷积结果（忽略包络）
s(Xa,τ)={exp⁡[j4πγc⋅(fcγ+τ)⋅(Rref−Rt)]}⊗exp⁡[−jπγτ2]s\left( {{X_a},\tau } \right) = \left\{ {\exp \left[ {j\frac{{4\pi \gamma }}{c} \cdot \left( {\frac{{{f_c}}}{\gamma } + \tau } \right) \cdot \left( {{R_{ref}} - {R_t}} \right)} \right]} \right\} \otimes \exp \left[ { - j\pi \gamma {\tau ^2}} \right]s(Xa,τ)={exp[jc4πγ⋅(γfc+τ)⋅(Rref−Rt)]}⊗exp[−jπγτ2]

上式是对τ\tauτ为变量进行卷积，所以可以写成

exp⁡(−j4πcfcRΔ)⋅exp⁡[−j4πγc⋅τ⋅RΔ]⊗exp⁡[−jπγτ2]\exp \left( { - j\frac{{4\pi }}{c}{f_c}{R_\Delta }} \right) \cdot \exp \left[ { - j\frac{{4\pi \gamma }}{c} \cdot \tau \cdot {R_\Delta }} \right] \otimes \exp \left[ { - j\pi \gamma {\tau ^2}} \right]exp(−jc4πfcRΔ)⋅exp[−jc4πγ⋅τ⋅RΔ]⊗exp[−jπγτ2]

由于第一项中不含积分变量只计算后两项的积分即可
∫exp⁡[−j4πγc⋅(τ−t)⋅RΔ]exp⁡(−jπγt2)dt\int {\exp \left[ { - j\frac{{4\pi \gamma }}{c} \cdot \left( {\tau - t} \right) \cdot {R_\Delta }} \right]} \exp \left( { - j\pi \gamma {t^2}} \right)dt∫exp[−jc4πγ⋅(τ−t)⋅RΔ]exp(−jπγt2)dt

这里利用驻定相位法计算积分，相位为theta(t)=−πγt2−(τ−t)RΔ4πγ/4πγcctheta \left( t \right) = - \pi \gamma {t^2} - \left( {\tau - t} \right){R_\Delta }{{4\pi \gamma } \mathord{\left/ {\vphantom {{4\pi \gamma } c}} \right.} c}theta(t)=−πγt2−(τ−t)RΔ4πγ/4πγcc ，求关于ttt的导数等于0得到 t=2RΔ/2RΔcct = {{2{R_\Delta }} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{R_\Delta }} c}} \right. } c}t=2RΔ/2RΔcc，将其带入相位中得

θ=−πγ(2RΔc)2−4πγc(τ−2RΔc)RΔ=−4πγRΔ2c2−4πγcτRΔ+8πγRΔ2c2=4πγRΔ2c2−4πγcτRΔ\begin{array}{c} \theta {\rm{ = }} - \pi \gamma {\left( {\frac{{2{R_\Delta }}}{c}} \right)^2} - \frac{{4\pi \gamma }}{c}\left( {\tau - \frac{{2{R_\Delta }}}{c}} \right){R_\Delta }\\ = - \frac{{4\pi \gamma {R_\Delta }^2}}{{{c^2}}} - \frac{{4\pi \gamma }}{c}\tau {R_\Delta } + \frac{{8\pi \gamma {R_\Delta }^2}}{{{c^2}}}\\ = \frac{{4\pi \gamma {R_\Delta }^2}}{{{c^2}}} - \frac{{4\pi \gamma }}{c}\tau {R_\Delta } \end{array}θ=−πγ(c2RΔ)2−c4πγ(τ−c2RΔ)RΔ=−c24πγRΔ2−c4πγτRΔ+c28πγRΔ2=c24πγRΔ2−c4πγτRΔ

所以卷积后相位为

4πγRΔ2c2−4πγcτRΔ−4πfccRΔ\frac{{4\pi \gamma {R_\Delta }^2}}{{{c^2}}} - \frac{{4\pi \gamma }}{c}\tau {R_\Delta } - \frac{{4\pi {f_c}}}{c}{R_\Delta }c24πγRΔ2−c4πγτRΔ−c4πfcRΔ
Φ(Xa,τ)=−4π⋅γc⋅τ⋅(Rt−Rref)+4π⋅γc2⋅(Rt−Rref)2−4π⋅fcc⋅(Rt−Rref)\Phi \left( {{X_a},\tau } \right) = - \frac{{4\pi \cdot \gamma }}{c} \cdot \tau \cdot \left( {{R_t} - {R_{ref}}} \right) + \frac{{4\pi \cdot \gamma }}{{{c^2}}} \cdot {\left( {{R_t} - {R_{ref}}} \right)^2} - \frac{{4\pi \cdot {f_c}}}{c} \cdot \left( {{R_t} - {R_{ref}}} \right)Φ(Xa,τ)=−c4π⋅γ⋅τ⋅(Rt−Rref)+c24π⋅γ⋅(Rt−Rref)2−c4π⋅fc⋅(Rt−Rref)
证毕
2. 方位向傅里叶变换
原式为
s(Xa,ΔKR)={A⋅exp⁡[−jKR(Rt−Rref)]}⊗exp⁡[−jΔKR22b]A(Xa,ΔKR)=C⋅rect⁡[Xa−XacL]⋅rec⁡[2ΔKRbcTp]\begin{array}{l} s\left(X_{a}, \Delta K_{R}\right)=\left\{A \cdot \exp \left[-j K_{R}\left(R_{t}-R_{r e f}\right)\right]\right\} \otimes \exp \left[-j \frac{\Delta K_{R}^{2}}{2 b}\right] \\ A\left(X_{a}, \Delta K_{R}\right)=C \cdot \operatorname{rect}\left[\frac{X_{a}-X_{a c}}{L}\right] \cdot \operatorname{rec}\left[\frac{2 \Delta K_{R}}{b c T_{p}}\right] \end{array}s(Xa,ΔKR)={A⋅exp[−jKR(Rt−Rref)]}⊗exp[−j2bΔKR2]A(Xa,ΔKR)=C⋅rect[LXa−Xac]⋅rec[bcTp2ΔKR]

由于卷积符号后一项无方位向时间，所以不需要进行变换

S(KX,ΔKR)=F[Aexp⁡[−jKR(Rt−Rref)]]⊗exp⁡[−jΔKR22b]S\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = {\bf{F}}\left[ {A\exp \left[ { - j{K_R}\left( {{R_t} - {R_{ref}}} \right)} \right]} \right] \otimes \exp \left[ { - j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}} \right]S(KX,ΔKR)=F[Aexp[−jKR(Rt−Rref)]]⊗exp[−j2bΔKR2]

则
∫Aexp⁡[−jKR((X−x0)2+RB2−Rref)]exp⁡(−jKXX)dX\int A \exp \left[-j K_{R}\left(\sqrt{\left(X-x_{0}\right)^{2}+R_{B}^{2}}-R_{r e f}\right)\right] \exp \left(-j K_{X} X\right) d X∫Aexp[−jKR((X−x0)2+RB2−Rref)]exp(−jKXX)dX

仍是利用驻定相位法，其相位为
θ(X)=−KR((X−x0)2+RB2−Rref)−KXX\theta \left( X \right) = - {K_R}\left( {\sqrt {{{\left( {X - {x_0}} \right)}^2} + {R_B}^2} - {R_{ref}}} \right) - {K_X}Xθ(X)=−KR((X−x0)2+RB2−Rref)−KXX

对相位求关于XXX的导数求得驻相点为
X=−KXRBKR2−KX2+x0X = - \frac{{{K_X}{R_B}}}{{\sqrt {{K_R}^2 - {K_X}^2} }} + {x_0}X=−KR2−KX2KXRB+x0

则相位为
θ=−RBKR2−KX2+KRRref−KXx0\theta = - {R_B}\sqrt {{K_R}^2 - {K_X}^2} + {K_R}{R_{ref}} - {K_X}{x_0}θ=−RBKR2−KX2+KRRref−KXx0

证毕

3.近似
S(KX,ΔKR)={A⋅exp⁡[jKRRref]⋅exp⁡[−jKR2−Kx2RB−jKXx0]}⊗exp⁡[−jΔKR22b]S\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \left\{ {A \cdot \exp \left[ {j{K_R}{R_{ref}}} \right] \cdot \exp \left[ { - j\sqrt {{K_R}^2 - {K_x}^2} {R_B} - j{K_X}{x_0}} \right]} \right\} \otimes \exp \left[ { - j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}} \right]S(KX,ΔKR)={A⋅exp[jKRRref]⋅exp[−jKR2−Kx2RB−jKXx0]}⊗exp[−j2bΔKR2]

对上式的近似主要是针对KR2−Kx2\sqrt {{K_R}^2 - {K_x}^2}KR2−Kx2

KR2−Kx2=(KRc+ΔKR)2−Kx2=KRc2+ΔKR2+2KRcΔKR−Kx2=KRc1+ΔKR2KRc2+2ΔKRKRc−Kx2KRc2\begin{array}{c} \sqrt {{K_R}^2 - {K_x}^2} = \sqrt {{{\left( {{K_{Rc}} + \Delta {K_R}} \right)}^2} - {K_x}^2} \\ = \sqrt {{K_{Rc}}^2 + \Delta {K_R}^2 + 2{K_{Rc}}\Delta {K_R} - {K_x}^2} \\ = {K_{Rc}}\sqrt {1 + \frac{{\Delta {K_R}^2}}{{{K_{Rc}}^2}} + 2\frac{{\Delta {K_R}}}{{{K_{Rc}}}} - \frac{{{K_x}^2}}{{{K_{Rc}}^2}}} \end{array}KR2−Kx2=(KRc+ΔKR)2−Kx2=KRc2+ΔKR2+2KRcΔKR−Kx2=KRc1+KRc2ΔKR2+2KRcΔKR−KRc2Kx2

令AX=1−KX2/KX2KRc2KRc2{A_X} = \sqrt {1 - {{{K_X}^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{{K_X}^2} {{K_{Rc}}^2}}} \right.} {{K_{Rc}}^2}}}AX=1−KX2/KX2KRc2KRc2则

KR2−Kx2=KRcAX2+ΔKR2KRc2+2ΔKRKRc=KRcAX1+ΔKR2KRc2+2ΔKRKRcAX2\begin{array}{c} \sqrt {{K_R}^2 - {K_x}^2} = {K_{Rc}}\sqrt {{A_X}^2 + \frac{{\Delta {K_R}^2}}{{{K_{Rc}}^2}} + 2\frac{{\Delta {K_R}}}{{{K_{Rc}}}}} \\ = {K_{Rc}}{A_X}\sqrt {1 + \frac{{\frac{{\Delta {K_R}^2}}{{{K_{Rc}}^2}} + 2\frac{{\Delta {K_R}}}{{{K_{Rc}}}}}}{{{A_X}^2}}} \end{array}KR2−Kx2=KRcAX2+KRc2ΔKR2+2KRcΔKR=KRcAX1+AX2KRc2ΔKR2+2KRcΔKR

参考文献1中公式8.70有
KRcAX1+ΔKR2KRc2+2ΔKRKRcAX2=KRcAX[1+1AX2ΔKRKRc−KX2KRc22AX4(ΔKRKRc)2+KX2KRc22AX6(ΔKRKRc)3]{K_{Rc}}{A_X}\sqrt {1 + \frac{{\frac{{\Delta {K_R}^2}}{{{K_{Rc}}^2}} + 2\frac{{\Delta {K_R}}}{{{K_{Rc}}}}}}{{{A_X}^2}}} {\rm{ = }}{K_{Rc}}{A_X}\left[ {1 + \frac{1}{{{A_X}^2}}\frac{{\Delta {K_R}}}{{{K_{Rc}}}} - \frac{{\frac{{{K_X}^2}}{{{K_{Rc}}^2}}}}{{2{A_X}^4}}{{\left( {\frac{{\Delta {K_R}}}{{{K_{Rc}}}}} \right)}^2} + \frac{{\frac{{{K_X}^2}}{{{K_{Rc}}^2}}}}{{2{A_X}^6}}{{\left( {\frac{{\Delta {K_R}}}{{{K_{Rc}}}}} \right)}^3}} \right]KRcAX1+AX2KRc2ΔKR2+2KRcΔKR=KRcAX[1+AX21KRcΔKR−2AX4KRc2KX2(KRcΔKR)2+2AX6KRc2KX2(KRcΔKR)3]

证毕。

S(KX,ΔKR)={A⋅exp⁡[jΔKRRref]⋅exp⁡(jKRcRref)exp⁡[−jAXKRcRB−jKXx0]exp⁡[−jΔKRAXRB]⋅exp⁡[jRBKX22KRc3AX3ΔKR2]⋅exp⁡[−jRBKX22KRc4AX5ΔKR3]}⊗exp⁡[−jΔKR22b]\begin{array}{c} S\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \left\{ {A \cdot \exp \left[ {j\Delta {K_R}{R_{ref}}} \right] \cdot \exp \left( {j{K_{Rc}}{R_{ref}}} \right)\exp \left[ { - j{A_X}{K_{Rc}}{R_B} - j{K_X}{x_0}} \right]\exp \left[ { - j\frac{{\Delta {K_R}}}{{{A_X}}}{R_B}} \right]} \right.\\ \left. { \cdot \exp \left[ {j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3A_X^3}}\Delta K_R^2} \right] \cdot \exp \left[ { - j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^5}}\Delta K_R^3} \right]} \right\} \otimes \exp \left[ { - j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}} \right] \end{array}S(KX,ΔKR)={A⋅exp[jΔKRRref]⋅exp(jKRcRref)exp[−jAXKRcRB−jKXx0]exp[−jAXΔKRRB]⋅exp[j2KRc3AX3RBKX2ΔKR2]⋅exp[−j2KRc4AX5RBKX2ΔKR3]}⊗exp[−j2bΔKR2]

则根据卷积公式

S(KX,ΔKR)={A(KX,ΔKR)⋅exp⁡[jΔKRRref]⋅exp⁡(jKRcRref)exp⁡[−jAXKRcRB−jKXx0]exp⁡[−jΔKRAXRB]⋅exp⁡[jRBKX22KRc3AX3ΔKR2]⋅exp⁡[−jRBKX22KRc4AX5ΔKR3]}⊗exp⁡[−jΔKR22b]⋅exp⁡[jΔKR22b(1−αAX)]=exp⁡(jKRcRref)exp⁡[−jAXKRcRB−jKXx0]∫A(KX,ΔL)exp⁡[jΔLRref]exp⁡[−jΔLAXRB]⋅exp⁡[jRBKX22KRc3AX3ΔL2]⋅exp⁡[−jRBKX22KRc4AX5ΔL3]exp⁡(−j(ΔKR−ΔL)22b)dΔL⋅exp⁡[jΔKR22b(1−αAX)]\begin{array}{c} S\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) = \left\{ {A\left( {{K_X},\Delta {K_R}} \right) \cdot \exp \left[ {j\Delta {K_R}{R_{ref}}} \right] \cdot \exp \left( {j{K_{Rc}}{R_{ref}}} \right)\exp \left[ { - j{A_X}{K_{Rc}}{R_B} - j{K_X}{x_0}} \right]\exp \left[ { - j\frac{{\Delta {K_R}}}{{{A_X}}}{R_B}} \right]} \right.\\ \left. { \cdot \exp \left[ {j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3A_X^3}}\Delta K_R^2} \right] \cdot \exp \left[ { - j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^5}}\Delta K_R^3} \right]} \right\} \otimes \exp \left[ { - j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}} \right]\\ \cdot \exp \left[ {j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}\left( {1 - \alpha {A_X}} \right)} \right]\\ = \exp \left( {j{K_{Rc}}{R_{ref}}} \right)\exp \left[ { - j{A_X}{K_{Rc}}{R_B} - j{K_X}{x_0}} \right]\int {A\left( {{K_X},\Delta L} \right)} \exp \left[ {j\Delta L{R_{ref}}} \right]\exp \left[ { - j\frac{{\Delta L}}{{{A_X}}}{R_B}} \right]\\ \cdot \exp \left[ {j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3A_X^3}}\Delta {L^2}} \right] \cdot \exp \left[ { - j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^5}}\Delta {L^3}} \right]\exp \left( { - j\frac{{{{\left( {\Delta {K_R} - \Delta L} \right)}^2}}}{{2b}}} \right)d\Delta L\\ \cdot \exp \left[ {j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}\left( {1 - \alpha {A_X}} \right)} \right] \end{array}S(KX,ΔKR)={A(KX,ΔKR)⋅exp[jΔKRRref]⋅exp(jKRcRref)exp[−jAXKRcRB−jKXx0]exp[−jAXΔKRRB]⋅exp[j2KRc3AX3RBKX2ΔKR2]⋅exp[−j2KRc4AX5RBKX2ΔKR3]}⊗exp[−j2bΔKR2]⋅exp[j2bΔKR2(1−αAX)]=exp(jKRcRref)exp[−jAXKRcRB−jKXx0]∫A(KX,ΔL)exp[jΔLRref]exp[−jAXΔLRB]⋅exp[j2KRc3AX3RBKX2ΔL2]⋅exp[−j2KRc4AX5RBKX2ΔL3]exp(−j2b(ΔKR−ΔL)2)dΔL⋅exp[j2bΔKR2(1−αAX)]

由于最后一项与ΔL\Delta LΔL无关，所以可以写进积分符号里面，对于积分符号里面的最后两项

exp⁡(−j(ΔKR−ΔL)22b)exp⁡[jΔKR22b(1−αAX)]=exp⁡(−jΔL2−2ΔKRΔL+αAXΔKR22b)=exp⁡(−jαAX2b(ΔL2α2AX2−2ΔKRΔLαAX+ΔKR2+ΔL2αAX−ΔL2α2AX2))=exp⁡(−jαAX2b(ΔKR−ΔLαAX)2)exp⁡(j1−αAX2bαAXΔL2)\begin{array}{l} \exp \left( { - j\frac{{{{\left( {\Delta {K_R} - \Delta L} \right)}^2}}}{{2b}}} \right)\exp \left[ {j\frac{{\Delta K_R^2}}{{2b}}\left( {1 - \alpha {A_X}} \right)} \right] = \exp \left( { - j\frac{{\Delta {L^2} - 2\Delta {K_R}\Delta L + \alpha {A_X}\Delta K_R^2}}{{2b}}} \right)\\ = \exp \left( { - j\frac{{\alpha {A_X}}}{{2b}}\left( {\frac{{\Delta {L^2}}}{{{\alpha ^2}{A_X}^2}} - \frac{{2\Delta {K_R}\Delta L}}{{\alpha {A_X}}} + \Delta K_R^2 + \frac{{\Delta {L^2}}}{{\alpha {A_X}}} - \frac{{\Delta {L^2}}}{{{\alpha ^2}{A_X}^2}}} \right)} \right)\\ = \exp \left( { - j\frac{{\alpha {A_X}}}{{2b}}{{\left( {\Delta {K_R} - \frac{{\Delta L}}{{\alpha {A_X}}}} \right)}^2}} \right)\exp \left( {j\frac{{1 - \alpha {A_X}}}{{2b\alpha {A_X}}}\Delta {L^2}} \right) \end{array}exp(−j2b(ΔKR−ΔL)2)exp[j2bΔKR2(1−αAX)]=exp(−j2bΔL2−2ΔKRΔL+αAXΔKR2)=exp(−j2bαAX(α2AX2ΔL2−αAX2ΔKRΔL+ΔKR2+αAXΔL2−α2AX2ΔL2))=exp(−j2bαAX(ΔKR−αAXΔL)2)exp(j2bαAX1−αAXΔL2)

则

=exp⁡(jKRcRref)exp⁡[−jAXKRcRB−jKXx0]∫A(KX,ΔL)exp⁡[jΔLRref]exp⁡[−jΔLAXRB]⋅exp⁡[jRBKX22KRc3AX3ΔL2]⋅exp⁡[−jRBKX22KRc4AX5ΔL3]exp⁡(−jαAX2b(ΔKR−ΔLαAX)2)exp⁡(j1−αAX2bαAXΔL2)dΔL\begin{array}{c} = \exp \left( {j{K_{Rc}}{R_{ref}}} \right)\exp \left[ { - j{A_X}{K_{Rc}}{R_B} - j{K_X}{x_0}} \right]\int {A\left( {{K_X},\Delta L} \right)} \exp \left[ {j\Delta L{R_{ref}}} \right]\exp \left[ { - j\frac{{\Delta L}}{{{A_X}}}{R_B}} \right]\\ \cdot \exp \left[ {j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3A_X^3}}\Delta {L^2}} \right] \cdot \exp \left[ { - j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^5}}\Delta {L^3}} \right]\exp \left( { - j\frac{{\alpha {A_X}}}{{2b}}{{\left( {\Delta {K_R} - \frac{{\Delta L}}{{\alpha {A_X}}}} \right)}^2}} \right)\exp \left( {j\frac{{1 - \alpha {A_X}}}{{2b\alpha {A_X}}}\Delta {L^2}} \right)d\Delta L \end{array}=exp(jKRcRref)exp[−jAXKRcRB−jKXx0]∫A(KX,ΔL)exp[jΔLRref]exp[−jAXΔLRB]⋅exp[j2KRc3AX3RBKX2ΔL2]⋅exp[−j2KRc4AX5RBKX2ΔL3]exp(−j2bαAX(ΔKR−αAXΔL)2)exp(j2bαAX1−αAXΔL2)dΔL

做替换

=exp⁡(jKRcRref)exp⁡[−jAXKRcRB−jKXx0]∫A(KX,αAXΔL)exp⁡[jαAXΔL1Rref]exp⁡[−jαAXΔL1AXRB]exp⁡[jRBKX22KRc3AX3(αAXΔL)2]⋅exp⁡[−jRBKX22KRc4AX5(αAXΔL1)3]exp⁡(−jαAX2b(ΔKR−αAXΔL1αAX)2)exp⁡(j1−αAX2bαAX(αAXΔL1)2)αAXdΔL1=A1exp⁡(jKRcRref)exp⁡[−jAXKRcRB−jKXx0]exp⁡[j(αAXRref−αRB)ΔKR]exp⁡[jRBKX22KRc3AX3(αAXΔKR)2]⋅exp⁡[−jRBKX22KRc4AX5(αAXΔKR)3]exp⁡(j1−αAX2bαAXΔKR2)⊗exp⁡(−jαAX2b(ΔKR)2)\begin{array}{l} = \exp \left( {j{K_{Rc}}{R_{ref}}} \right)\exp \left[ { - j{A_X}{K_{Rc}}{R_B} - j{K_X}{x_0}} \right]\int {A\left( {{K_X},\alpha {A_X}\Delta L} \right)} \exp \left[ {j\alpha {A_X}\Delta {L_1}{R_{ref}}} \right]\\ \exp \left[ { - j\frac{{\alpha {A_X}\Delta {L_1}}}{{{A_X}}}{R_B}} \right]\exp \left[ {j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3A_X^3}}{{\left( {\alpha {A_X}\Delta L} \right)}^2}} \right] \cdot \exp \left[ { - j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^5}}{{\left( {\alpha {A_X}\Delta {L_1}} \right)}^3}} \right]\\ \exp \left( { - j\frac{{\alpha {A_X}}}{{2b}}{{\left( {\Delta {K_R} - \frac{{\alpha {A_X}\Delta {L_1}}}{{\alpha {A_X}}}} \right)}^2}} \right)\exp \left( {j\frac{{1 - \alpha {A_X}}}{{2b\alpha {A_X}}}{{\left( {\alpha {A_X}\Delta {L_1}} \right)}^2}} \right)\alpha {A_X}d\Delta {L_1}\\ {\rm{ = }}{A_1}\exp \left( {j{K_{Rc}}{R_{ref}}} \right)\exp \left[ { - j{A_X}{K_{Rc}}{R_B} - j{K_X}{x_0}} \right]\exp \left[ {j\left( {\alpha {A_X}{R_{ref}} - \alpha {R_B}} \right)\Delta {K_R}} \right]\\ \exp \left[ {j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^3A_X^3}}{{\left( {\alpha {A_X}\Delta {K_R}} \right)}^2}} \right] \cdot \exp \left[ { - j\frac{{{R_B}K_X^2}}{{2K_{Rc}^4A_X^5}}{{\left( {\alpha {A_X}\Delta {K_R}} \right)}^3}} \right]\exp \left( {j\frac{{1 - \alpha {A_X}}}{{2b}}\alpha {A_X}\Delta {K_R}^2} \right)\\ \otimes \exp \left( { - j\frac{{\alpha {A_X}}}{{2b}}{{\left( {\Delta {K_R}} \right)}^2}} \right) \end{array}=exp(jKRcRref)exp[−jAXKRcRB−jKXx0]∫A(KX,αAXΔL)exp[jαAXΔL1Rref]exp[−jAXαAXΔL1RB]exp[j2KRc3AX3RBKX2(αAXΔL)2]⋅exp[−j2KRc4AX5RBKX2(αAXΔL1)3]exp(−j2bαAX(ΔKR−αAXαAXΔL1)2)exp(j2bαAX1−αAX(αAXΔL1)2)αAXdΔL1=A1exp(jKRcRref)exp[−jAXKRcRB−jKXx0]exp[j(αAXRref−αRB)ΔKR]exp[j2KRc3AX3RBKX2(αAXΔKR)2]⋅exp[−j2KRc4AX5RBKX2(αAXΔKR)3]exp(j2b1−αAXαAXΔKR2)⊗exp(−j2bαAX(ΔKR)2)

5.剩余视频相位的去除
剩余视频相位（RVP）校正指的是去斜处理，即解卷积，消除式中的置斜处理项，即消除卷积符号后的项。常规思路是将(23)进行距离傅里叶逆变换，然后去斜，再进行傅里叶变换得到二维频域的形式。由于傅里叶逆变换比较复杂，这里根据信号卷积的性质来进行去斜。
待证明的信号其实可以简化为x⊗hx \otimes hx⊗h，现在欲去除hhh的影响，只需要进行x⊗h⊗h1x \otimes h \otimes {h_1}x⊗h⊗h1，其中h1h_1h1可以将hhh的效果抵消即可，所以这一步可以转换为设计hhh的匹配滤波器 h1h_1h1（这样表述有无问题？）

H(ΔKR)=exp⁡(−jαAX2b(ΔKR)2)H\left( {\Delta {K_R}} \right) = \exp \left( { - j\frac{{\alpha {A_X}}}{{2b}}{{\left( {\Delta {K_R}} \right)}^2}} \right)H(ΔKR)=exp(−j2bαAX(ΔKR)2)

对H(ΔKR)H\left( {\Delta {K_R}} \right)H(ΔKR)进行傅里叶逆变换

∫exp⁡(−jαAX2b(ΔKR)2)exp⁡(jYΔKR)dΔKRθ(ΔKR)=YΔKR−αAX2b(ΔKR)2\begin{array}{l} \int {\exp \left( { - j\frac{{\alpha {A_X}}}{{2b}}{{\left( {\Delta {K_R}} \right)}^2}} \right)} \exp \left( {jY\Delta {K_R}} \right)d\Delta {K_R}\\ \theta \left( {\Delta {K_R}} \right){\rm{ = }}Y\Delta {K_R} - \frac{{\alpha {A_X}}}{{2b}}{\left( {\Delta {K_R}} \right)^2} \end{array}∫exp(−j2bαAX(ΔKR)2)exp(jYΔKR)dΔKRθ(ΔKR)=YΔKR−2bαAX(ΔKR)2

对相位求导得到驻相点为ΔKR=bYαAX\Delta {K_R}{\rm{ = }}\frac{{bY}}{{\alpha {A_X}}}ΔKR=αAXbY，所以逆傅里叶变换的结果为

h(Y)=exp⁡(jbY22αAX)h\left( Y \right) = \exp \left( {j\frac{{b{Y^2}}}{{2\alpha {A_X}}}} \right)h(Y)=exp(j2αAXbY2)

所以滤波器设置为上式的共轭即可：
HRVPC(Y)=exp⁡(−jbY22αAX){H_{RVPC}}\left( Y \right) = \exp \left( { - j\frac{{b{Y^2}}}{{2\alpha {A_X}}}} \right)HRVPC(Y)=exp(−j2αAXbY2)

参考书籍：

魏忠铨, 等. 合成孔径雷达卫星[M]. 北京: 科学出版社.
保铮邢孟道王彤. 雷达成像技术[M]. 电子工业出版社, 2005.
Lan G.Cumming Frank H.Wong. 合成孔径雷达成像: 算法与实现[M]. 电子工业出版社, 2012.

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