10.2 动态规划算法套路及空间优化 —— Climbing Stairs Unique Paths
这一篇文章从最简单的动态规划题目开始，结合上一节动态规划三要素，以LeetCode两道基础的DP题目阐述DP问题的基本套路解法。
70. Climbing Stairs
You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.
Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?
Note: Given n will be a positive integer.
题目解析：
这是一道最基础的动态规划问题，用于我们初步了解。首先我们来回忆DP三大要素，抽烟喝酒烫头，不，是最优子结构，状态转移方程和边界。
- 最优子结构，就是分析问题的关键，构建解题框架。之前以斐波那契数列为例，这次我们以这道题目为例。想知道到达n层台阶，有多少种方式，即f(n)是最终想要的答案，抽象为f(i) 即到达任何一层台阶的方式；所谓子结构，即f(i-1),f(i-2),f(i-3),...,f(2),f(1)。很明显，f(i)的方案数目和 f(i-1)等子问题的答案是有关系的。这就是第一步分析问题我们要做的。
- 状态转移方程。f(i)和子问题具体是什么关系呢？这一步要定量分析。由于每次只能走一步或两步，一步之前的台阶在i-1层，两步之前在i-2层，那么第i层的方案数目不就是：f(i) = f(i-1) + f(i-2)，（还是斐波那契数列）。这一步定量分析问题和子问题之间的数量关系，
- 边界。到这儿就很好理解了，可以定义 f(1)=1, f(2)=2.
- 其实还有第四步，就是编码啦，能把你的思路写出来才行。
下面我们看代码实现，在dp问题中，对于f(i)我们一般存为数组dp.
class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:# 特殊情况if n <= 2:return n# dp数组必备dp = [0] * (n+1)# 边界dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3, n+1):# 状态转移方程dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[-1] 这个一维的问题就图森破了，下面我们看经典的二维dp问题。说来说去，二维不一定比一维的就难，一维的数组也有很多难题。
62. Unique Paths
A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).
The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).
How many possible unique paths are there?
题目解析：
我们仿照上题的思路来解析，看三大要素。f(i,j)表示到达i行j列的路径数，f(m,n)即最终结果。i行j列是从左侧或上边走过来的，必然有一定的最优子结构的形式。那么接下来分析状态转移方程。和上一题类似，i行j列的上一步或者在i-1行j列，或者在i行j-1列，只有这两种情况，且每种情况下只有一条路径到i,j，因此直接得到f(i,j) = f(i-1,j) + f(i,j-1)。二维问题的边界也在二维数组的边界，下面我们直接看代码实现：
class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:# dp数组dp = [[0] * n for _ in range(m)]# 边界for i in range(m):dp[i][0] = 1for i in range(n):dp[0][i] = 1for i in range(1, m): for j in range(1, n):# 状态转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]return dp[m-1][n-1] # 或dp[-1][-1]再额外解释一下边界，沿着第一行或者第一列都是只有一种路径，所以边界的初始值都是1，也可以直接把dp数组初始化为1.
先充分的消化一下上面两道问题的dp套路，从三要素理解解题思路，进而理解dp的核心思想，最优子结构和无后效性。
根据无后效性，下面我们看一下dp算法的优化思路。
以climbing stairs为例，基本思路中我们定义了长度为n的数组用于存储i处的最终解，时间复杂度O(n)；但是从关系式dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]可以看出，在i处我们只需要i-1和i-2的值，更早的值我们不需要了，这就体现了无后效性，因此我们只需要三个变量即可解决问题，下面看代码：
class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:if n <= 2:return npre1 = 2pre2 = 1dp = 0for i in range(3, n+1): dp = pre1 + pre2pre2, pre1 = pre1, dpreturn dp 就是这样，将空间复杂度降到了O(1)。我们再看unique paths题目的优化。
对于第i行第j列，我们看关系式 f(i,j) = f(i-1,j) + f(i,j-1)，在前面的解法中，我们的空间复杂度是O(m*n)，对于每个位置来说，我们需要左边的和上边的，对于每一行来说，我们只需要上一行的结果即可。因此我们可以将空间复杂度降到O(n)，结合下面代码来看，我们只定义一个一维dp数组，在每行遍历中，不断更新dp数组的值，不断抛弃上一行的结果，直到最后一行。
class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:# 定义一维dp数组，同时初始化了第一行的边界值dp = [1] * nfor i in range(1, m): for j in range(n):# 第一列的边界if j == 0:dp[j] = 1else:# 相当于原状态转移方程，不断更新dp数组值dp[j] += dp[j-1]return dp[-1]10.2 动态规划算法套路及空间优化 —— Climbing Stairs Unique Paths相关推荐
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