原根与NTT 五千字详解

欧拉定理

若 m,a互质则 $a^{\varphi (m)}\equiv 1 (mod \,\, \,m)$

阶的概念

若a,m互质，使得 $a^{n}\equiv 1 (mod\,\,m)$ 的最小正整数n称为a模m意义下的阶，记作 $\delta m (a)$

原根的概念

若 $\delta m(a) =\varphi (m)$ ,即a的阶等于m的欧拉函数，则称a为原根

阶的性质

$a^0,a^1,a^2...a^{\delta -1}$ 在模m意义下两两不同，之后开始进入周期

阶周期性

$a^\gamma \equiv a\gamma {}' \Leftrightarrow \gamma \equiv \gamma {}' (mod\, \delta )$ 即在模阶意义下相同的两个指数，对应mod m下的幂数也相同

$\delta | \varphi (m)$ 即阶是欧拉函数的因子

原根存在定理

只有模 2,4, $p^a\,\,\,\, p^{2a}$ 才存在原根，其中p是奇数，是质数，也就是奇质数

原根的判定定理

设m>1,g为正整数，且g,m互质，g是m的原根当且仅当， $\varphi (m)$ 的全部质因子qi

都满足 $g ^{\varphi (m)/qi} \not\equiv 1 (mod \,\, m)$

最小原根求解全部原根

在找出最小原根p的情况下， p^k只需要满足 $gcd(k,\varphi (n)) =1$

求解原根模板

第一步 欧拉筛 预处理出范围内所有质数，以及欧拉函数，原根存在性

依据为 原根存在定理

 phi[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(!not_prime[i]){prime[++tot]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=N;j++){not_prime[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}}

rt[2]=rt[4]=1;for(ll i=2;i<=tot;i++){for(ll j=1;j*prime[i]<=N;j*=prime[i]){rt[j*prime[i]]=1;}for(ll j=2;j*prime[i]<=N;j*=prime[i]){rt[j*prime[i]]=1;}}

第二步，读入判断数字，首先判断是否具有原根，有的话，对其欧拉函数进行质因数分解，作为原根判断合理性的依据


void oula(int  x)
{len=0;for(ll i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){temp[++len]=i;while(x%i==0)x/=i;}}if(x>1)temp[++len]=x;return ;}

第三步，枚举最小原根，最小原根值一般很小，可以直接枚举。根据原根定义，其阶数为phi[p],判断依据是其 phi[p]次幂应该mod m =1。然后不能仅仅满足这一个条件就能判断phi[p]就是其阶数，还需要原根判定定理，枚举欧拉函数质因数分解后的因子，x的欧拉函数除以因子次幂在mod m情况下不能等于1.


bool check(ll x,ll p)
{if(qp(x,phi[p],p)!=1)return 0;for(int i=1;i<=len;i++){if(qp(x,phi[p]/temp[i],p)==1)return 0;}return 1;}ll findmin(int p)
{for(int i=1;i<p;i++){if(check(i,p))return i;}return 0;}

第四步，寻找到最小原根，枚举最小原根的k次幂，满足 gcd(k,phi[p])=1才行

void getrt(int p,int x)
{ll pp=1;lenans=0;for(ll i=1;i<=phi[p];i++){pp=pp*x%p;if(gcd(i,phi[p])==1)ans[++lenans]=pp;}return ;}

【模板】原根 - 洛谷

# include<iostream>
# include<algorithm>
using namespace std;const int N =1000000;typedef long long int ll;ll phi[N],prime[N],rt[N];int tot;bool not_prime[N];
void init()
{phi[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(!not_prime[i]){prime[++tot]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=N;j++){not_prime[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}}rt[2]=rt[4]=1;for(ll i=2;i<=tot;i++){for(ll j=1;j*prime[i]<=N;j*=prime[i]){rt[j*prime[i]]=1;}for(ll j=2;j*prime[i]<=N;j*=prime[i]){rt[j*prime[i]]=1;}}return  ;}ll gcd(ll a,ll b)
{return b==0?a:gcd(b,a%b);}
ll qp(ll base, ll pow, ll mod)
{ll ans=1;while(pow){if(pow&1)ans=ans*base%mod;pow>>=1;base=base*base%mod;}return ans;}ll temp[N];
int len;void oula(int  x)
{len=0;for(ll i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){temp[++len]=i;while(x%i==0)x/=i;}}if(x>1)temp[++len]=x;return ;}bool check(ll x,ll p)
{if(qp(x,phi[p],p)!=1)return 0;for(int i=1;i<=len;i++){if(qp(x,phi[p]/temp[i],p)==1)return 0;}return 1;}ll findmin(int p)
{for(int i=1;i<p;i++){if(check(i,p))return i;}return 0;}
int lenans=0;ll ans[N];void getrt(int p,int x)
{ll pp=1;lenans=0;for(ll i=1;i<=phi[p];i++){pp=pp*x%p;if(gcd(i,phi[p])==1)ans[++lenans]=pp;}return ;}
int main ()
{init();int t;cin>>t;while(t--){int p,mod;cin>>p>>mod;if(rt[p]){oula(phi[p]);int mn=findmin(p);getrt(p,mn);sort(ans+1,ans+lenans+1);cout<<lenans<<'\n';for(int i=1;i<=lenans/mod;i++){cout<<ans[i*mod]<<" ";}cout<<'\n';}else{cout<<0<<'\n';cout<<'\n';}}}

NTT模板

inline void ntt(int a[],int len,int inv)
{int bit=0;while ((1<<bit)<len)++bit;fo(i,0,len-1){rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));if (i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);}//前面和FFT一样for (int mid=1;mid<len;mid*=2){int tmp=pow(g,(mod-1)/(mid*2));//原根代替单位根if (inv==-1)tmp=pow(tmp,mod-2);//逆变换则乘上逆元for (int i=0;i<len;i+=mid*2){int omega=1;for (ll j=0;j<mid;++j,omega=omega*tmp%mod){int x=a[i+j],y=omega*a[i+j+mid]%mod;a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;//注意取模}}//大体和FFT差不多}
}

挑选队友

生成函数很好设置，唯一细节在于vector容器下标的设置，这里采用0代表1,在运算的过程中，误差也就产生了下标偏移

比如 v1[0]代表1，v1[1]代表2

v2[0]代表1，v2[1]代表2

进行一次运算

v1[0]=v1[0]*v2[0] 也就是说，v1[0]代表了2

v1[1]代表了3

进行m次运算

v[pos]代表 pos+1+m-1 =pos+m

所以最终答案要输出v[][k-m]

# include<iostream>
# include<vector>
# include<cstdio>
# include<cstring>
# include<queue>
# include<algorithm>
# include<cmath>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int N=100010;
# define mod 998244353
int s[N];
ll fac[N],inv[N];ll qp(ll base ,ll pow)
{ll ans=1;while(pow){if(pow&1)ans=ans*base%mod;base=base*base%mod;pow>>=1;}return ans;}
void init()
{fac[0]=1;for(int i=1;i<N;i++){fac[i]=fac[i-1]*i%mod;}inv[N-1]=qp(fac[N-1],mod-2);for(int i=N-2;i>=0;i--){inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;}
}ll C(int n,int k)
{if(k>n)return  0;return fac[n]*inv[k]%mod*inv[n-k]%mod;}int rev[N*2];void init1(int k)
{int len=(1<<k);for(int i=0;i<len;i++)rev[i]=0;for(int i=0;i<len;i++){rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));}return ;}void NTT(vector<ll>&a,int n,int flag)
{for(int i=0;i<n;i++){if(i<rev[i]){swap(a[i],a[rev[i]]);}}for(int h=1;h<n;h<<=1){ll gn=qp(3ll,(mod-1)/(h*2));if(flag==-1)gn=qp(gn,mod-2);for(int j=0;j<n;j+=(h*2)){ll g=1;for(int k=j;k<j+h;k++){ll x=a[k];ll y=g*a[k+h];a[k]=(x+y)%mod;a[k+h]=((x-y)%mod+mod)%mod;g=g*gn%mod;}}}if(flag==-1){ll t=qp(n,mod-2);for(int i=0;i<n;i++){a[i]=a[i]*t%mod;}}return ;}void mul(vector<ll>&a,vector<ll>&b,int siz)
{int k=1,s=2;while((1<<k)<siz-1){s<<=1;k++;}init1(k);a.resize(s);b.resize(s);NTT(a,s,1);NTT(b,s,1);for(int i=0;i<s;i++){a[i]=a[i]*b[i]%mod;}NTT(a,s,-1);int len=s-1;while(a[len]==0)len--;a.resize(len+1);}vector<ll>v[N];int main ()
{init();int n,m,k;cin>>n>>m>>k;queue<int>q;for(int i=1;i<=m;i++){int x;cin>>x;v[i].resize(x);for(int j=0;j<x;j++){v[i][j]=C(x,j+1);}q.push(i);}while(q.size()>=2){int q1=q.front();q.pop();int q2=q.front();q.pop();mul(v[q1],v[q2],v[q1].size()+v[q2].size());q.push(q1);}cout<<v[q.front()][k-m];return 0;}

原根与NTT 五千字详解相关推荐

一万五千字详解HTTP协议
点击上方蓝色字体,选择"设为星标" 回复"资源"获取更多资源本篇文章篇幅比较长,先来个思维导图预览一下. 一.概述 1.计算机网络体系结构分层 2.TCP/I ...
五千字详解消息通知！
临近春节,各大app年底冲刺,消息推送应该要开始泛滥了,本文对运营三宝之一的push(其他两宝短信.小红点暂不展开)进行一些梳理,看看如何在合适的时间,把合适的内容推给合适的人,真正发挥push的价值 ...
为什么你挖不到漏洞，阿里P8架构师亲授秘籍（五千字详解）
你为什么挖不到漏洞你是不是在为学不会安全而烦恼? 你是不是在为挖不到漏洞而沮丧? 你是不是为实战挖洞毫无思路而丧失信心? 不要悲伤,不要心急忧郁的日子总会过去.假如生活欺骗了了你,不要沮丧,因为生活 ...
谷歌官方正式发布了Go1.20稳定版「8千字详解」
Go1.20 变化不少,该版本依然保持 Go1 兼容性,我们可以升级到 Go1.20,而不需要做任何代码改动. 可以使用你任何喜欢的方式升级: 比如:go install golang.org/dl/ ...
Mysql安装配置和Mysql使用六千字详解！！
目录课前导读一.Mysql的安装和配置二.数据库简介: 1.数据库中典型代表: 2.数据库类型: 3.Mysql简介: 4.客户端和服务器简介: 三.初始MySQL 四.数据库操作五.表的基本 ...
千字详解：“Java性能调优六大工具”之JConsole工具
JConsole工具是JDK自带的图形化性能监控工具. 通过JConsole工具, 可以查看Java应用程序的运行概况, 并监控堆信息. 永久区使用情况及类的加载情况等. 本文主要介绍JConsole ...
八道超经典指针面试题（三千字详解）
目录第一题: 第二题: 第三题: 第四题: 第五题: 第六题: 第七题: 第八题: 第一题: int main() {int a[5] = { 1, 2, 3, 4, 5 };int *ptr = ...
2W五千字的C++基础知识整理汇总
最近发现一篇两万五千字的C++基础知识大汇总,可把我高兴坏了.白嫖,必须白嫖! 来源:高效程序员一 .从"hello world" 入门C++! C++总览简介 C++ 是一种静 ...
洛谷千题详解 | P1014 [NOIP1999 普及组] Cantor 表【C++、Java语言】
博主主页:Yu·仙笙专栏地址:洛谷千题详解目录题目描述输入格式输出格式输入输出样例解析: C++源码: C++源码2: C++源码3: Java源码: ----------------- ...

原根与NTT 五千字详解

原根与NTT 五千字详解相关推荐

最新文章

热门文章