深入理解傅里叶变换--FT

泰勒级数

傅里叶级数

欧拉公式

傅里叶变换

在了解傅里叶之前，首先来认识一下泰勒展开，他与傅里叶级数有着相似的形式。

泰勒级数

高数中的泰勒展开要表达的含义是：初等函数可以通过多项式函数拟合。举个栗子（ $e^{x}$ 在x=0处的泰勒级数表示方法）：

$e^{x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x-0)^{n}}{n!}$

于是对于函数f(x), 在 $x_{0}$ 处展开的级数可以表示为（f(x)要满足的具体条件不在此阐述）:

$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(x-x_{0})^{n}}{n!}f(x_{0})^{(n)}$

关于泰勒级数的推导，这里不做详细展开了。

傅里叶级数

傅里叶级数这个公式极其优美而强大，它的出现让我们用不一样的方式去看待世界。

傅里叶级数利用正弦函数多项式来表示某一个具体的周期函数，正如下图所示，黑色线条y=y1+y2+y3，y是周期函数，它可以由绿红蓝三个正弦函数叠加而成。

下面，我们正式引入傅里叶级数的公式，对于任意的周期函数 $f(x)$ ,假定周期为2 $\pi$ ，有：

$f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$

那么怎么确定其中的参数 $a_{0}, a_{n}, b_{n}$ 的值就变得至关重要了。

在求这些值之前，先引入三角函数系中的正交基：1， cosnx， sinnx，其中n=1, 2, 3 ....。在线性代数中，正交是指 ab = 0，而在函数中，规定了当两个函数乘积的积分为零时，函数正交，对于三角函数系，有：

$\left\{\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}sinnxsinmx dx &= 0, m\neq n; \vspace{1ex} \\ \int_{-\pi}^{\pi}cosnxcosmx dx &= 0 , m\neq n; \vspace{1ex} \\ \int_{-\pi}^{\pi}cosnxsinmx dx &= 0 . \end{aligned}\right.$

于是对于f(x)在 ${[-\pi, \pi]}$ 求积分，

$\begin{matrix} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = a_0\pi + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n}^{+\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx)dx =a_0\pi \end{matrix}$

因此

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$

对之前等式的左右两边乘以cosnx，再在 ${[-\pi, \pi]}$ 上求积分，可以得到：

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx .......{n =1,2,3,....}$

同理，左右同乘sinnx，再在 ${[-\pi, \pi]}$ 上求积分，可以得到:

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx .......{n =1,2,3,....}$

至此，傅里叶级数中各项系数的求解基本已经解决了（没有写的特别仔细TuT，第一次编辑这么多公式，然后有些公式对不齐，Latex编辑还不是很顺手）。

欧拉公式

在进一步深入到傅里叶变换之前，可以先了解一下欧拉公式（这个可以用泰勒公式推导）。

$e^{i\theta} = {cos{\theta} + {isin\theta}}$

此公式可以利用对 $cos\theta$ 以及 $sin\theta$ 进行泰勒级数展开，求出来 $cos{\theta}+isin\theta$ 会发现它就是 $e^{i\theta}$ 的泰勒级数展开式。当然，还有更加形象的推理，在此处我强推B站一位up主 对于欧拉公式的解释，看到就是赚到。

傅里叶变换

根据上述的欧拉公式，我们可以得到一下两个变换，即:

$cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ $sin\theta = \frac{-i(e^{i\theta}-e^{-i\theta})}{2}$

傅里叶级数公式提过来，方便对照(这里讨论更一般的f(x),即设定周期为2 $l$ )：

$f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_{n}cos{\frac{n{\pi}x}{l}}+b_{n}sin{\frac{n{\pi}x}{l})$

将 $sin\theta$ 以及 $cos\theta$ 带入傅里叶级数，得：

化简得：

$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}{( \frac{a_n-b_n i}{2} { e^{\frac{n\pi}{l}ix } } + \frac{a_n+b_n i}{2} { e^{-\frac{n\pi}{l}ix } } )}$

此处，我们注意到，n从1变到 $+\infty$ 的过程中， $e^{\frac{n\pi}{l}ix }$ 与 $e^{-\frac{n\pi}{l}ix }$ 是对称的，此时，为了进一步简化上式，作如下变换：

$\\C_0 = \frac{a_0}{2} = C_0e^{\frac{0*\pi}{2}ix},~~~{}C_n = \frac{a_n - b_n i}{2} ,~~~~ C_{-n} = \frac{a_n+b_n i}{2}$

从而，我们考虑n从 $-\infty$ 变化到 $+\infty$ ，将公式进一步化简：

$\begin{aligned} \\f(t) &= C_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}(C_n*e^{j\frac{n\pi}{l}t} + C_{-n}*e^{-j\frac{n\pi}{l}t}) \vspace{2ex} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n*e^{j\frac{n\pi}{l}t} \end{aligned}$

再把公式提过来，方便对照：

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx .......{n =1,2,3,....}$ $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx .......{n =1,2,3,....}$

从而求 $C_n$ 的公式可以总结如下,参考了视频傅里叶推导：

综上，

$C_n = \frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(t)e^{-j\frac{n\pi t}{l}}dt~~~~n = 0, \pm 1, \pm 2,...$

接下来，贴张图，公式打得太累了（来自上面的那个链接）

再进一步变换，可以得到：

于是乎，我们的傅里叶变换与逆变换公式分别为上图的 $F(\omega )$ 与 $f(t)$ 。