1. Hahn-Banach 定理

实向量空间中： X是实向量空间，p是X上的 次线性泛函 ，即一个满足 $p(\alpha x) = \alpha p(x) \forall a>0,\forall x\in X;p(x+y) \le p(x)+p(y),\forall x,y\in X $ （就是叠加的部分变成小于等于了，所以次了）的函数 p : X → R p:X\to \mathbb{R} p:X→R 。
设Y是X的子空间， l : Y → R l:Y\to\mathbb{R} l:Y→R 是Y上的线性泛函，它满足
l ( y ) ≤ p ( y ) , ∀ y ∈ Y l(y)\le p(y),\forall y\in Y l(y)≤p(y),∀y∈Y
则存在线性泛函 l ~ : X → R \tilde{l}:X\to \mathbb{R} l~:X→R 满足
∀ y ∈ Y , l ~ ( t ) = l ( t ) , ∀ x ∈ X , l ~ ( x ) ≤ p ( x ) \forall y\in Y,\tilde{l}(t) =l(t) , \forall x\in X, \tilde{l}(x)\le p(x) ∀y∈Y,l~(t)=l(t),∀x∈X,l~(x)≤p(x)

赋范向量空间中： X是赋范向量空间，Y是X的子空间，设 l : Y → K l:Y\to \mathbb K l:Y→K 是连续线性泛函。
则存在一个连续线性泛函 l ~ : X → K \tilde{l}:X\to \mathbb{K} l~:X→K 满足 l ~ ( y ) = l ( y ) , ∀ y ∈ Y 且 ∣ ∣ l ~ ∣ ∣ X ′ = ∣ ∣ l ∣ ∣ Y ′ \tilde{l}(y) = l(y),\forall y\in Y 且 ||\tilde{l}||_{X'}=||l||_{Y'} l~(y)=l(y),∀y∈Y且∣∣l~∣∣X′=∣∣l∣∣Y′

emmm这个变成范数相等了。

Taylor-Foguel 定理： X是赋范向量空间，则所有定义在X子空间上的连续线性泛函有到X上的唯一保范延拓，其充分必要条件是X的对偶空间 X’是严格凸的。

(知乎这个大佬的对偶空间讲的好形象啊！
怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？ - 马同学的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/235672121)

Bishop-Phelps 定理： X是实Banach空间，设
Y ′ : = { x ′ ∈ X ′ ; ∃ x 0 , ∣ ∣ x 0 ∣ ∣ = 1 且 s u p ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ∣ x ′ ( ) x ∣ = ∣ ∣ x ′ ( x 0 ) } Y':=\{x'\in X';\exists x_0,||x_0||=1 且 sup_{||x||=1}|x'()x|=||x'(x_0)\} Y′:={x′∈X′;∃x0,∣∣x0∣∣=1且sup∣∣x∣∣=1∣x′()x∣=∣∣x′(x0)}
则Y’在X’中稠密

(复习一下稠密：

如果一个集合与一个元素属于的任意一个开集的交集都非空，那么我们称这个集合对于该元素稠密。
如果一个集合是一个空间的子集且对于该空间的任意元素都稠密，那么我们称这个集合在这个空间中稠密。)

1.1. 几何形式的Hahn-Banach定理：凸集的分离

在实赋范向量空间X中，非零线性连续泛函 l : X → R l:X\to \mathbb{R} l:X→R 以及一个 γ ∈ R \gamma\in R γ∈R 集合
{ x ∈ X ; l ( x ) = γ } \{x\in X;l(x)=\gamma\} {x∈X;l(x)=γ}
称作闭仿射超平面，而集合 { x ∈ X ; l ( x ) ≥ γ } \{x\in X;l(x)\ge \gamma\} {x∈X;l(x)≥γ} 是闭半空间， { x ∈ X ; l ( r ) > γ } \{x\in X;l(r)>\gamma\} {x∈X;l(r)>γ} 是开半空间。

X中有A、B两集合，如果存在一个非0的 l ∈ X ′ l\in X' l∈X′ 和 γ ∈ R \gamma\in\mathbb{R} γ∈R 使得
A ⊂ { x ∈ X , l ( x ) ≤ γ } , B ⊂ { y ∈ X ; γ ≤ l ( y ) } A\subset \{x\in X,l(x)\le \gamma\},B\subset \{y\in X;\gamma\le l(y)\} A⊂{x∈X,l(x)≤γ},B⊂{y∈X;γ≤l(y)}
即它们被包含在两个闭半空间内，其交集是闭仿射超平面 { y ∈ X ; l ( y ) = γ } \{y\in X;l(y)=\gamma\} {y∈X;l(y)=γ}
这是集合A和集合B被超平面分离。

凸集的分离： 设A和B是实赋范向量空间X的两个非空子集，满足 A 是开凸集， B 是凸集； A ∩ B = ∅ A是开凸集，B是凸集； A\cap B = \emptyset A是开凸集，B是凸集；A∩B=∅ 那么存在非零的 l ∈ X ′ , y ∈ R l\in X',y\in\mathbb{R} l∈X′,y∈R 使得 l ( x ) ≤ γ ≤ l ( y ) , ∀ x ∈ A , y ∈ B l(x)\le \gamma \le l(y),\forall x\in A,y\in B l(x)≤γ≤l(y),∀x∈A,y∈B

所有就是说如果两个集合的交集是空集，那么就能找到一个非0的连续泛函使其映射结果不相交。

如果是复向量空间，则存在非零的 l ∈ X ′ , γ ∈ R l\in X',\gamma\in R l∈X′,γ∈R 使得 R e l ( x ) < γ ≤ R e l ( y ) Re ~l(x)<\gamma\le Re~l(y) Re l(x)<γ≤Re l(y)

凸集的严格分离： 若A与K是实赋范向量空间X的两个非空子集，满足 A是凸集且是闭集，K是凸集且是紧集，二者交集为空集 ，那么一定存在非零的 l ∈ X ′ , γ ∈ R , δ > 0 l\in X',\gamma\in R,\delta >0 l∈X′,γ∈R,δ>0 使得
l ( x ) ≤ γ − δ < γ + δ < l ( y ) l(x)\le \gamma-\delta <\gamma+\delta <l(y) l(x)≤γ−δ<γ+δ<l(y)

依然是分离，而且不能取到恰好等于 γ \gamma γ

如果是复向量空间，则存在非零的 l ∈ X ′ , γ ∈ R , δ > 0 l\in X',\gamma\in R, \delta >0 l∈X′,γ∈R,δ>0 使得
R e l ( x ) ≤ γ − δ < γ + δ ≤ R e l ( y ) Re~l(x)\le \gamma-\delta<\gamma +\delta \le Re~l(y) Re l(x)≤γ−δ<γ+δ≤Re l(y)

2. Banach 闭值域定理

对偶算子： X和Y是同一数域上的两个赋范向量空间，给定任意算子 A ∈ L ( X ; Y ) A\in\mathcal{L}(X;Y) A∈L(X;Y) ，存在唯一的算子 A ′ ∈ L ( Y ′ ; X ′ ) A'\in \mathcal{L}(Y';X') A′∈L(Y′;X′) ,称为A的对偶算子或者简称A的对偶，使得
A ′ y ′ ( x ) = y ′ ( A x ) A'y'(x) = y'(Ax) A′y′(x)=y′(Ax)
∣ ∣ A ′ ∣ ∣ L ( Y ′ ; X ′ ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ L ( X ; Y ) ||A'||_{\mathcal{L}(Y';X')} = ||A||_{\mathcal{L}(X;Y)} ∣∣A′∣∣L(Y′;X′)=∣∣A∣∣L(X;Y)

如果一个算子是紧的，那么它的对偶算子也是紧的。

Banach 闭值域定理：

设X与Y是同一数域上的Banach空集， A ∈ L ( X ; Y ) A\in\mathcal{L}(X;Y) A∈L(X;Y) 则以下条件等价
- 算子 A : X → Y A:X\to Y A:X→Y 有闭值域，即 Im A 是Y中的闭集
- 对偶算子 A ′ : Y ′ → X ′ A':Y'\to X' A′:Y′→X′ 有闭值域，即 I m A ′ Im A' ImA′ 是X’中的闭集。
X和Y是在同一数域上的Banach空集， A ∈ L ( X ; Y ) A\in\mathcal{L}(X;Y) A∈L(X;Y) 则以下条件等价
- 算子 A : X → Y A:X\to Y A:X→Y 是漫射，即 Im A=Y
- 存在常数C使得对偶算子 A ′ : Y ′ → X ′ A':Y'\to X' A′:Y′→X′ 满足 ∣ ∣ y ′ ∣ ∣ ≤ C ∣ ∣ A ′ y ′ ∣ ∣ ||y'||\le C||A'y'|| ∣∣y′∣∣≤C∣∣A′y′∣∣
- 对偶算子 A’ 是单射且 Im A’在X’中是闭合的。

泛函分析笔记(十五) Hahn-Banach 定理、闭值域定理相关推荐

python复制指定字符串_python3.4学习笔记(十五) 字符串操作（string替换、删除、截取、复制、连接、比较、查找、包含、大小写转换、分割等）...
python3.4学习笔记(十五) 字符串操作(string替换.删除.截取.复制.连接.比较.查找.包含.大小写转换.分割等) python print 不换行(在后面加上,end=''),prin ...
windows内核开发学习笔记十五：IRP结构
windows内核开发学习笔记十五:IRP结构 IRP(I/O Request Package)在windows内核中,有一种系统组件--IRP,即输入输出请求包.当上层应用程序需要访问底层输入输 ...
Polyworks脚本开发学习笔记(十五)-用Python连接Polyworks的COM组件
Polyworks脚本开发学习笔记(十五)-用Python连接Polyworks的COM组件用Polyworks脚本开发,没有高级语言的支持,功能难免单一,一些比较复杂的交互实现不了,界面和报告也很 ...
世界是有生命的（通向财富自由之路学习笔记十五）
最近因为工作调度的事情,有了一段空闲的日子,有比较多的时间来回望自己走过的路以及如何走好以后的路.之前忙得很少时间来写博文,很少时间来写读书笔记,逐渐将自己一些很好的习惯丢弃了.从今天起将重拾写博文的 ...
IOS之学习笔记十五(协议和委托的使用)
1.协议和委托的使用 1).协议可以看下我的这篇博客 IOS之学习笔记十四(协议的定义和实现) https://blog.csdn.net/u011068702/article/details/809 ...
Mr.J-- jQuery学习笔记(十五)--实现页面的对联广告
请看之前的:Mr.J-- jQuery学习笔记(十四)--动画显示隐藏话不多说,直接上demo <!DOCTYPE html> <html lang="en"& ...
数据科学和人工智能技术笔记十五、支持向量机
十五.支持向量机作者:Chris Albon 译者:飞龙协议:CC BY-NC-SA 4.0 校准 SVC 中的预测概率 SVC 使用超平面来创建决策区域,不会自然输出观察是某一类成员的概率估计. ...
前端学习笔记(十五)
第十五章 HTML5新增标签一.HTML5概述 1.简介 HTML5万维网的核心语言.标准通用标记语言下的一个应用超文本标记语言的第五次大修改.HTML5将成为 HTML.XHTML ...
【Visual C++】游戏开发笔记十五游戏人工智能（一）运动型游戏AI
分享一下我老师大神的人工智能教程.零基础!通俗易懂!风趣幽默!还带黄段子!希望你也加入到我们人工智能的队伍中来!https://blog.csdn.net/jiangjunshow 本系列文章由zhm ...

泛函分析笔记(十五) Hahn-Banach 定理、闭值域定理

文章目录

1. Hahn-Banach 定理

1.1. 几何形式的Hahn-Banach定理：凸集的分离

2. Banach 闭值域定理

泛函分析笔记(十五) Hahn-Banach 定理、闭值域定理相关推荐

最新文章

热门文章