前言

学习了一些数据结构之后，你是不是已经有些小得意了，以为数据结构就这点东西嘛，不就用好栈、队列什么什么的就好，呵呵，那些只是皮毛。接下来的东西才会让你真正认识到数据结构的博大精深，当你看到接下来那些酷炫狂赛的操作时，你会惊叹于数据结构的神奇。在学习那些酷炫的AVL树，红黑树之前，我们先入个门，学习最简单的动态查找表——二叉查找树。

二叉查找树

二叉查找树有被称为二叉排序树，它要么是个空树，要么就满足下列条件：

若左子树不空，则左子树中所有元素的值比根节点小
若右子树不空，则左子树中所有元素的值比根节点大
二叉查找树的左右子树都是二叉查找树（疯狂暗示递归实现）

如图，便是一个二叉查找树

基本实现

存储实现：

二叉查找树就使用链表实现，这样能够很好的理解，每个节点有一个元素存储值，两个指针分别指向它的左子树和右子树。

template<class elemType>
class binarySearchTree
{
private:struct node{elemType data;node *left;node *right;node(const elemType &d, node *ln = NULL, node *rn = NULL):data(d), left(ln), right(rn){}};node *root;
}

find函数实现：

查找操作从根节点开始，一个一个节点递归查找。对于一个特定节点，就四个步骤：

如果该节点是NULL，那么说明已经查找完了整个树，还没有找到。
若该节点的值与要找的值吻合，那么找到，退出
若要找的值大于该节点的值，查找它的右子树节点
若要找的值小于该节点的值，查找它的左子树节点

    elemType *find(const elemType &x){return find(x, root);}elemType *find(const elemType &x, node *t){if(t == NULL){cout << "Can not find" << endl;return 0;}if(t -> data == x){return &(t -> data);}if(x < t -> data){return find(x, t -> left);}else{return find(x, t -> right);}}

midOrder操作：

中序遍历输出整个树的值，细心的人其实已经从二叉查找树做小右大的性质想到了，二叉查找树中序遍历的结果必然是一个从小到大序列啊。

    void midOrder(){midOrder(root);}void midOrder(node *p){if(p == NULL){return;}midOrder(p -> left);cout << p -> data << ' ';midOrder(p -> right);}

insert操作：

insert操作插入的一定是叶节点

记住这一点，插入的时候一个一个比较就好，从根节点开始，大就向右，小就向左，直到最后的NULL，在NULL处插入节点就好。

    void insert(const elemType &x){insert(x, root);}void insert(const elemType &x, node *&t){if(t == NULL){t = new node(x, NULL, NULL);}else{if(x < t -> data){insert(x, t -> left);}else{if(x == t -> data){cout << "The node has existed" << endl;return;}else{insert(x, t -> right);}}}}

remove操作：

remove操作是二叉查找树中最难的，但你也不要害怕，毕竟你都已经看到这儿了对吧，不看完怎么行。

想想remove其实就分三种情况：

remove的节点是叶节点，那么二话不说直接删了就好
remove的节点有一个左子树或者有一个右子树，那么直接把这个节点删去，它的子树补上来就好
remove的节点有左子树右子树都有，这就比较麻烦了，是不是已经蒙圈了，不知道怎么补了，不要慌，且待我慢慢给你讲解：删除了这个节点，这个位置又不能空着，所以我们按正常人的思维就找了个替身来填补这个位置，那么怎样选择这个替身才能保证树仍保持有序呢？静下心来想想，要想保持有序，那必须补上来左子树的最大值或是右子树的最小值啊，其实就是中序遍历的该值的相邻两个值是吧。
找左子树的最大值，其实就是从左子树的根节点开始，一直往右找，直到末端，那末端的值必然是左子树的最大值了，同理，找右子树的最小值，其实就是从右子树的根节点开始，一直往左找，直到末端，那末端的值必然是右子树的最小值了。（代码以找右子树的最小值为例写的）
找到了替身，使要删节点的值改为替身的值，然后删掉替身就好（有没有一种恩将仇报的赶脚），这里的删掉替身的操作一定是满足前两种操作的。

    void remove(const elemType &x){remove(x, root);}void remove(const elemType &x, node *&t){//注意这里是指针的引用，不是复制构造，因为要满    //足补上来子树与上面的节点能够接上if(t == NULL){return;}if(x < t -> data){remove(x, t -> left);}else{if(x > t -> data){remove(x, t -> right);}else{                        //==if(t -> left != NULL && t -> right != NULL){node *tmp = t -> right;while(tmp -> left != NULL){tmp = tmp -> left;}t -> data = tmp -> data;remove(t -> data, t -> right);}else{node *old = t;if(t -> left == NULL && t -> right == NULL){delete old;}else{if(t -> left!= NULL){t = t -> left;}else{t = t -> right;}delete old;}}}}}

完整代码：

#include <iostream>using namespace std;template<class elemType>
class binarySearchTree
{
private:struct node{elemType data;node *left;node *right;node(const elemType &d, node *ln = NULL, node *rn = NULL):data(d), left(ln), right(rn){}};node *root;public:binarySearchTree(){root = NULL;}~binarySearchTree(){clear(root);}void clear(node *t){if(t == NULL){return;}clear(t -> left);clear(t -> right);delete t;}elemType *find(const elemType &x){return find(x, root);}elemType *find(const elemType &x, node *t){if(t == NULL){cout << "Can not find" << endl;return 0;}if(t -> data == x){cout << "haha" << endl;return &(t -> data);}if(x < t -> data){return find(x, t -> left);}else{return find(x, t -> right);}}void insert(const elemType &x){insert(x, root);}void insert(const elemType &x, node *&t){if(t == NULL){t = new node(x, NULL, NULL);}else{if(x < t -> data){insert(x, t -> left);}else{if(x == t -> data){cout << "The node has existed" << endl;return;}else{insert(x, t -> right);}}}}void remove(const elemType &x){remove(x, root);}void remove(const elemType &x, node *&t){if(t == NULL){return;}if(x < t -> data){remove(x, t -> left);}else{if(x > t -> data){remove(x, t -> right);}else{   //==if(t -> left != NULL && t -> right != NULL){node *tmp = t -> right;while(tmp -> left != NULL){tmp = tmp -> left;}t -> data = tmp -> data;remove(t -> data, t -> right);}else{node *old = t;if(t -> left == NULL && t -> right == NULL){delete old;}else{if(t -> left!= NULL){t = t -> left;}else{t = t -> right;}delete old;}}}}}void midOrder(){midOrder(root);}void midOrder(node *p){if(p == NULL){return;}midOrder(p -> left);cout << p -> data << ' ';midOrder(p -> right);}};

总结

二叉查找树性能与结构有很大关系，如果构建的好，也就是二叉查找树接近于一棵完全二叉树，那么其所有操作都是O(logn)的，但如果数据很变态，刚好形成了一条链，那就是线性O(n)了。

不过总归是有办法解决的，那就是传说中的AVL树和红黑树，之后会慢慢讲到。

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