题目:        已知两个数字为1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积，甲问乙：“你知道是  哪两个数吗？”乙说：“不知道”。乙问甲：“你知道是哪两个数吗？”甲说：“也不知道”。于是，乙说：“那我知道了”，随后甲也说：“那我也知道了”，这两个数是什么？

下边是最佳答案:

1和4 或者1和7
推理1:允许两数重复的情况下
答案为x=1，y=4；甲知道和A=x+y=5，乙知道积B=x*y=4
不允许两数重复的情况下有两种答案
答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6
答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8
解：
设这两个数为x，y.
甲知道两数之和 A=x+y；
乙知道两数之积 B=x*y；
该题分两种情况 ：
允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)；
不允许重复，有(1 <= x < y <= 30)；
当不允许重复，即(1 <= x < y <= 30)；
1)由题设条件：乙不知道答案
<=> B=x*y 解不唯一
=> B=x*y 为非质数
又∵ x ≠ y
∴ B ≠ k*k (其中k∈N)
结论(推论1)：
B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k∈N)
即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20...)
证明过程略。
2)由题设条件：甲不知道答案
<=> A=x+y 解不唯一
=> A >= 5；
分两种情况：
A=5，A=6时x，y有双解
A>=7 时x，y有三重及三重以上解
假设 A=x+y=5
则有双解
x1=1，y1=4；
x2=2，y2=3
代入公式B=x*y：
B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*3=6；
得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾 ，
故假设不成立，A=x+y≠5
假设 A=x+y=6
则有双解。
x1=1，y1=5；
x2=2，y2=4
代入公式B=x*y：
B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*4=8；
得到唯一解x=2，y=4
即甲知道答案
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾
故假设不成立，A=x+y≠6
当A>=7时
∵ x，y的解至少存在两种满足推论1的解
B1=x1*y1=2*(A-2)
B2=x2*y2=3*(A-3)
∴ 符合条件
结论(推论2)：A >= 7
3)由题设条件：乙说"那我知道了"
=>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解
即：
A=x+y， A >= 7
B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20...)
1 <= x < y <= 30
x，y存在唯一解
当 B=6 时：有两组解
x1=1，y1=6
x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=6
当 B=8 时：有两组解
x1=1，y1=8
x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=8
当 B>8 时：容易证明均为多重解
结论：
当B=6时有唯一解 x=1，y=6当B=8时有唯一解 x=1，y=8
4)由题设条件：甲说"那我也知道了"
=> 甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解
综上所述，原题所求有两组解：
x1=1，y1=6
x2=1，y2=8
当x<=y时，有(1 <= x <= y <= 30)；
同理可得唯一解 x=1，y=4

推理2:只有1和7
分析
因为乙先说知道，说明乙通过这个乘积可以确定一组唯一的数，而甲后说知道了，说明甲通过乙提供的信息及两数之和也能确定唯一的一组数

先看乘积

如果是1和4，则乘积为4，可分解为1*4，2*2，不是唯一的一组
如果是1和7，则乘积为7是质数，可以分解为1*7，是唯一的一组
如果是4和7，则乘积为28，可分解为，4*7，2*14，1*28，不是唯一的一组
如果是1和17，则乘积为17是质数，可分解为1*17，是唯一的一组
如果是4和17，则乘积为68，可分解为2*34（不符合条件），和4*17，是唯一的一组
如果是7和14，则乘积为98，可分解为49*2（不符合条件），和7*14，是唯一的一组

由此筛选出1和7，1和17，4和17，7和14

在看两数之和

如果是1和7，则和为8，可分解为，1+7，2+6，3+5，4+4
1、如果分解为2+6，则乘积为12，不能确定唯一的一组数相乘
2、如果分解为3+5，则乘积为15，不能确定唯一的一组数相乘
3、如果分解为4+4，则乘积为16，不能确定唯一的一组数相乘
4、如果分解为1+7，则乘积为7，能确定唯一的一组数相乘
因此1和7成立

如果是1和17，则和为18，可分解为1+17，2+16，3+15....9+9
其中，如果分解为1+17，则乘积为17，能确定唯一的一组数相乘
如果分解为5+13，则乘积为65，能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此1和17不成立

如果是4和17，则和为21
其中
如果分解为2+19，则乘积为38，能确定唯一的一组数相乘
如果分解为4+17，则乘积为68，能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此4和17不成立

如果是7和14，则和为21
其中
如果分解为2+19，则乘积为38，能确定唯一的一组数相乘
如果分解为4+17，则乘积为68，能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此4和17不成立

总上，只有1和7符合条件

推理3:由乙开始推理：2*2=4或1*4=4 假设是2和2的话，甲所得的数是4，那么甲就会想“2+2=4， 1+3=4，那么他（乙）就会认为我所的数是3或4，如果是3的话，那么我（甲）就知道结果 1*3=3，现在他（乙）不知道，那么只能是2*2=4，相信他（乙）现在也得出了这个结果。可是他（乙）还要反问我（甲）知不知道，那么就是说2*2=4这个结果不成立，那么只能是1*4=4

以下用VB。NET实现：

Dim NUM, SUM, PRODUCT As Int32
    Dim Product1()() As Int32
    Dim i, m, n, Sum1(3)() As Int32

Private Sub MyMain()
        Product1 = Nothing
        NUM = CInt(Me.TextBox1.Text)
        GetSum1()
        GetProduct1()
        For m = 1 To NUM
            For n = m To NUM
                If SumOnly(m, n) Or ProductOnly(m, n) Then GoTo NextItem '不好意思用了个ＧＯＴＯ
                SUM = m + n
                PRODUCT = m * n
                '甲的和产生的积中最多有（n -2）个是唯一积
                If SUMtoPRODUCT_N_2(SUM) < 2 Then GoTo NextItem
                '乙的积产生的和中有且只有一个满足1、不是唯一和 2、和产生的积中最多有（n -2）个是唯一积
                '并且其余的和均满足 1、不是唯一和 2、有n－1个唯一积
                If PROCUCTtoSUM(PRODUCT) Then
                    MsgBox(m.ToString() & "  " & n.ToString())
                End If
NextItem:   Next

Next

End Sub
    Private Sub GetSum1()
        '产生唯一和并保存在数组中
        ReDim Sum1(0)(1)
        Sum1(0)(0) = 1
        Sum1(0)(1) = 1
        ReDim Sum1(1)(1)
        Sum1(1)(0) = 1
        Sum1(1)(1) = 2
        ReDim Sum1(2)(1)
        Sum1(2)(0) = NUM - 1
        Sum1(2)(1) = NUM
        ReDim Sum1(3)(1)
        Sum1(3)(0) = NUM
        Sum1(3)(1) = NUM
    End Sub
    Private Function SumOnly(ByVal N1 As Int32, ByVal N2 As Int32) As Boolean
        '判断是否为唯一和
        Dim i As Int32
        For i = 0 To 3
            If N1 = Sum1(i)(0) AndAlso N2 = Sum1(i)(1) Then Return True
        Next
        Return False
    End Function
    Private Sub GetProduct1()
        '产生唯一积并保存在数组中
        Dim tmp(NUM * NUM)() As Int32
        For m = 1 To NUM '????????????????
            For n = m To NUM  '??????????????
                Dim meme() As Int32 = tmp(m * n)
                If meme Is Nothing Then
                    ReDim meme(2)
                Else
                    ReDim Preserve meme(meme.Length + 1)
                End If

meme(meme.Length - 1) = m
                meme(meme.Length - 2) = n
                meme(0) += 1
                tmp(m * n) = meme
                meme = Nothing
            Next
        Next
        For i = 1 To NUM * NUM
            If Not tmp(i) Is Nothing AndAlso tmp(i)(0) = 1 Then
                For m = 1 To tmp(i).GetUpperBound(0) Step 2
                    If Product1 Is Nothing Then
                        ReDim Product1(0)
                        ReDim Product1(0)(1)
                    Else
                        ReDim Preserve Product1(Product1.Length)
                        ReDim Product1(Product1.Length - 1)(1)
                    End If
                    Product1(Product1.Length - 1)(0) = tmp(i)(m)
                    Product1(Product1.Length - 1)(1) = tmp(i)(m + 1)
                Next
            End If
        Next
    End Sub
    Private Function ProductOnly(ByVal N1 As Int32, ByVal N2 As Int32) As Boolean
        '判断是否为唯一积
        Dim i As Int32
        For i = 0 To Product1.GetUpperBound(0)
            If N1 = Product1(i)(1) AndAlso N2 = Product1(i)(0) Then Return True
            If N1 = Product1(i)(0) AndAlso N2 = Product1(i)(1) Then Return True
        Next
        Return False
    End Function
    Private Function SUMtoPRODUCT_N_2(ByVal SUM As Int32) As Int32
        '甲的和产生的积中最多有（n -2）个是唯一积
        Dim n As Int32 = CInt(SUM / 2 - 0.2)
        Dim i, m As Int32
        For i = 1 To n
            If ProductOnly(i, SUM - i) Then m += 1
        Next
        Return n - m
    End Function
    Private Function PROCUCTtoSUM(ByVal PRODUCT As Int32) As Boolean
        '乙的积产生的和中有且只有一个满足1、不是唯一和 2、和产生的积中最多有（n -2）个是唯一积
        '并且其余的和均满足 1、不是唯一和 2、有n－1个唯一积
        Dim tmp()(), i, m, n As Int32
        '1、分解积看能产生多少个和
        For i = 1 To CInt(Math.Sqrt(PRODUCT) - 0.4)
            If PRODUCT Mod i = 0 Then
                If tmp Is Nothing Then
                    ReDim tmp(0)
                    ReDim tmp(0)(2)
                Else
                    ReDim Preserve tmp(tmp.Length)
                    ReDim Preserve tmp(tmp.Length - 1)(2)
                End If
                tmp(tmp.Length - 1)(2) = PRODUCT / i
                tmp(tmp.Length - 1)(1) = i
                If Not SumOnly(tmp(tmp.Length - 1)(1), tmp(tmp.Length - 1)(2)) And SUMtoPRODUCT_N_2(i + PRODUCT / i) >= 2 Then
                    '和不为唯一和，且和产生的积中支多有n－2个是唯一积
                    tmp(tmp.Length - 1)(0) = 1
                End If
                If SumOnly(tmp(tmp.Length - 1)(1), tmp(tmp.Length - 1)(2)) Then
                    '唯一和
                    tmp(tmp.Length - 1)(0) = 3
                End If
                If Not SumOnly(tmp(tmp.Length - 1)(1), tmp(tmp.Length - 1)(2)) And SUMtoPRODUCT_N_2(i + PRODUCT / i) = 1 Then
                    '不是唯一和，但是有n－1个唯一积
                    tmp(tmp.Length - 1)(0) = 2
                End If
            End If
        Next
        Dim count As Int32 = 0
        For i = 0 To tmp.Length - 1
            If tmp(i)(0) = 0 Then Return False
            If tmp(i)(0) = 1 Then count += 1
        Next
        If count <> 1 Then Return False
        Return True
    End Function