字节跳动---毕业旅行问题

字节跳动—毕业旅行问题

文章目录

字节跳动---毕业旅行问题
一、问题描述
二、分析
三、代码

一、问题描述

小明目前在做一份毕业旅行的规划。打算从北京出发，分别去若干个城市，然后再回到北京，每个城市之间均乘坐高铁，且每个城市只去一次。由于经费有限，希望能够通过合理的路线安排尽可能的省一些路上的花销。给定一组城市和每对城市之间的火车票的价钱，找到每个城市只访问一次并返回起点的最小车费花销。

输入描述:

城市个数n（1<n≤20，包括北京）城市间的车票价钱 n行n列的矩阵 m[n][n]

输出描述:

最小车费花销 s

输入例子1:

输出例子1:

例子说明1:

共 4 个城市，城市 1 和城市 1 的车费为0，城市 1 和城市 2 之间的车费为 2，城市 1 和城市 3 之间的车费为 6，城市 1 和城市 4 之间的车费为 5，依次类推。假设任意两个城市之间均有单程票可购买，且票价在1000元以内，无需考虑极端情况。

二、分析

方法一：回溯【超时】

把所有的解通过一棵树表达出来，然后通过深度优先遍历，找到一个解的时候就将其记录下来，最后输出最小的解即可

如图所示，从根节点到叶子节点的所经过的节点就是其路径，每个边的长度之和就是总车票价格。

当然还有一种优化的方法，就是在遍历过程中，如果发现此时路径长度已经超出了之前找到的最小路径长度，就可以进行剪支操作，即不再遍历。

这种方法的时间复杂度为O(n!)O(n!)O(n!)O(n!)O(n!)O(n!)O(n!)O(n!)O(n!)，当n大于12之后，其计算时间就已经非常大了。这种方法会因为超时无法通过所有的测试数据。

方法二：动规

第一步：明确动态规划的 状态和选择

对于这道题，状态无非就是 旅行出发的起点和经过的城市，所以用一个二维dp数组来进行递归

旅行的出发点 还好说， 用数组的索引 就可以直接表示，关键是怎么表示已经经过的城市，经过的城市不可能只有一个，一个数组的索引肯定不能够表示全部，所以用什么来表示这个状呢？？？

所以用数组的下标索引当成一个位图，用其中的 每个bit位代表已经经过哪些城市

虽然找到解决经过的城市的方法，但是还要考虑怎么设置进比特位，因为我们在进行判断的时候肯定需要知道对应bit位是那个城市，所以还需要考虑bit位的设计

规定：从1到n-1（n为城市的个数）用二进制表示的话，刚好可以映射成除了0号城市外的剩余n-1个城市在不在子集n[j]，1代表在，0代表不在

例：若有总共有4个城市的话，除了第0号城市，对于1-3号城市
111 = V-1 = 2^3 - 1 = 7 ，从高位到低位表示3到1号城市都在子集中
而101 = 5 ，表示3,1号城市在子集中，而其他城市不在子集中

所以该索引的大小为：1 << n（n为城市的个数）

int stateNum = 1 << n;// dp[i][j]中的i是一个二进制形式的数，表示经过城市的集合，如0111表示经过了城市0,1,2// dp[i][j]表示经过了i中的城市，并且以j结尾的路径长度vector<vector<int> > dp(stateNum,vector<int>(n,MAX));

dp[i][j]的含义：中的i是一个二进制形式的数，表示经过城市的集合，如0111表示经过了城市0,1,2，表示经过了i中的城市，并且以j城市结尾的路径（钱）长度

第二步：明确base case

这个就很容易确定

dp[1][0] = 0; //从城市0出发，所以经过城市0，以城市0结尾的路径为0

从城市0出发，所以经过城市0，以城市0结尾的路径为0

第三步：找状态转移方程